最大堆 最小堆

2021-06-21 16:37:25 字數 1367 閱讀 7043

堆的定義是:n個元素的序列,當且僅當滿足如下關係時被成為堆

(1)ki

<= k2i 且 ki

<= k2i-1

或 (2) ki >= k2i 且 ki >= k2i-1 

(i = 1,2,…[n/2])

當滿足(1)時,為最小堆,當滿足(2)時,為最大堆。

若將此序列對應的一維陣列堪稱是乙個完全二叉樹,則2i和2i+1個節點分別是節點i的左右子節點。

如下為乙個最大堆:

下面以最小堆為例說明堆的輸出:

圖1為乙個最小堆,當最小節點根節點13輸出後,將最後乙個節點97作為根節點,移到頂端,如圖2. 然後要對堆進行調整。比較此完全樹的根節點與其兩個子節點大小,因為27 < 38 < 97,所以27是三個節點裡最小的,將節點27與根節點97交換。此時以97替代27而產生的右子樹為乙個新的堆,再以97為根節點,對此最小堆進行調整,同理,知道要將97與49交換,得到圖3的完全樹。此時以97代替49為根節點的右子樹為乙個新堆,再對此堆做同樣的操作,因為此完全樹已經是最小堆,所以可以停止操作,堆的調整完畢。此時再將根節點,對的最小值輸出,並進行同樣的調整,可以得到如圖4的新堆。這個過程被稱為「篩選」。

同樣以最小堆說明堆的初始化:

從乙個無序序列初始化為乙個堆的過程就是乙個反覆「篩選」的過程。由完全二叉樹的性質可以知,乙個有n個節點的完全二叉樹的最後乙個非葉節點是節點[n/2],堆的初始化過程就從這個[n/2]節點開始。上圖為如下無序陣列的初始化:

首先,未處理的陣列對應的堆為圖1模樣。從第四個節點開始([8/2]=4),因為50 < 97,故要交換兩節點,交換後還要繼續對其新的左子樹進行類似輸出後那樣的篩選。易見其左子樹只有節點97,已經為最佳情況,故可以繼續堆的初始化,如圖2。再考慮第三個節點,因為13 < 27 < 65,即節點13為當前的最小節點,故與節點65交換,並對新的左子樹進行篩選,其也為最佳情況,故可繼續堆的初始化,結果如圖3。然後考慮第二個節點,因為38 < 50 < 76,故已經為最優情況,不用調整。最後再考慮第乙個節點,根節點。因為 13

本文參考了嚴蔚敏的《資料結構》

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