矩陣構造方法

2021-06-22 06:01:08 字數 3290 閱讀 2862

fibonacci數列:f(0)=1 , f(1)=1 , f(n)=f(n-1)+f(n-2)

我們以前快速求fibonacci數列第n項的方法是 構造常係數矩陣

(一)   fibonacci數列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n項快速求法(不考慮高精度)

解法:考慮1×2的矩陣【f[n-2],f[n-1]】。根據fibonacci數列的遞推關係,我們可以通過乘以乙個2×2的矩陣a,得到矩陣:【f[n-1],f[n]】。

即:【f[n-2],f[n-1]】*a = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】

很容易構造出這個2×2矩陣a,即:

0 1 

1 1

所以,有【f[1],f[2]】×a=【f[2],f[3]】

又因為矩陣乘法滿足結合律,故有:

【f[1],f[2]】×a ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】

這個矩陣的第乙個元素f[n]即為所求。

(二)   數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n項的快速求法(不考慮高精度)

解法:仿照前例,考慮1×3的矩陣【f[n-2],f[n-1],1】,希望求得某3×3的矩陣a,使得此1×3的矩陣乘以a得到矩陣:【f[n-1],f[n],1】

即:【f[n-2],f[n-1],1】* a =【f[n-1],f[n],1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】

容易構造出這個3×3的矩陣a,即:

0 1 0 

1 1 0 

0 1 1

故:【f[1],f[2],1】* a^(n-1) = 【f[n],f[n+1],1】

(三)數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n項的快速求法(不考慮高精度).

解法:仿照前例,考慮1×4的矩陣【f[n-2],f[n-1],n,1】,希望求得某4×4的矩陣a,使得此1×4的矩陣乘以a得到矩陣:【f[n-1],f[n],n+1,1】

即:【f[n-2],f[n-1],n,1】* a  = 【f[n-1],f[n],n+1,1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】

容易構造出這個4×4的矩陣a,即:

0 1 0 0 

1 1 0 0 

0 1 1 0 

0 1 1 1

故:【f[1],f[2],3,1】* a^(n-1) = 【f[n],f[n+1],n+2,1】

(四)   數列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n項和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法(不考慮高精度).

解法:仿照之前的思路,考慮1×3的矩陣【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】,我們希望通過乘以乙個3×3的矩陣a,得到1×3的矩陣:【f[n-1],f[n],s[n-1]】

即:【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】 * a  = 【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】

容易得到這個3×3的矩陣a是:

0 1 0 

1 1 1 

0 0 1

這種方法的矩陣規模是(r+1)*(r+1)

f(1)=f(2)=s(1)=1 ,所以,有

【f(1),f(2),s(1)】* a  = 【f(2),f(3),s(2)】

故:【f(1),f(2),s(1)】* a^(n-1)  = 【f(n),f(n+1),s(n)】

(五)   數列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n項和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法(不考慮高精度).

解法:考慮1×5的矩陣【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】,

我們需要找到乙個5×5的矩陣a,使得它乘以a得到如下1×5的矩陣【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】

即:【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】* a  =【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】

=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】

容易構造出a為:

0 1 0 0 0 

1 1 1 0 0 

0 0 1 0 0 

0 1 0 1 0 

0 1 0 1 1

故:【f(1),f(2),s(1),3,1】* a^(n-1)  = 【f(n),f(n+1),s(n),n+2,1】

一般地,如果有f[n]=p*f[n-1]+q*f[n-2]+r*n+s

可以構造矩陣a為:

0  q  0  0  0 

1  p  1  0  0 

0  0  1  0  0 

0  r  0  1  0 

0  s  0  1  1

更一般的,對於f[n]=sigma(a[n-i]*f[n-i])+poly(n),其中0

例如:a(0) = 1 , a(1) = 1 , a(n) = x * a(n - 1) + y * a(n - 2) (n >= 2);給定三個值n,x,y求s(n):s(n) = a(0)2 +a(1)2+……+a(n)2。

解:考慮1*4 的矩陣【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】

我們需要找到乙個4×4的矩陣a,使得它乘以a得到1×4的矩陣

【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

即:【s[n-2],a[n-1]^2,a[n-2]^2,a[n-1]*a[n-2]】* a = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

= 【s[n-2]+a[n-1]^2 , x^2 * a[n-1]^2 + y^2 * a[n-2]^2 + 2*x*y*a[n-1]*a[n-2] ,

a[n-1]^2 , x*a[n-1]^2 + y*a[n-2]a[n-1]】

可以構造矩陣a為:

1     0    0    0

1    x^2   1    x

0    y^2   0    0

0    2xy   0    y

故:【s[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * a^(n-1) = 【s[n-1],a[n]^2,a[n-1]^2,a[n]*a[n-1]】

所以:【s[0],a[1]^2,a[0]^2,a[1]*a[0]】 * a^(n) = 【s[n],a[n+1]^2,a[n]^2,a[n+1]*a[n]】

若a = (b * c ) 則at = ( b * c )t = ct * bt

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