圖上不來。。。好煩。。。。
親愛的小夥伴們晚上好喲！繼昨天的仿射變換之後，今天又是討論組合數學問題的時候了。今天我們要來看的是乙個神奇的數列，為了紀念比利時數學家卡特蘭而把它叫做卡特蘭（catalan)數.這個數列是卡特蘭在研究凸n邊形的剖時得到的。凸n＋2邊形用其n－1條對角線把此凸n＋2邊形分割為互不重疊的三角形，這種分法的總數為tn。據說有幾十種看上去毫不相干的組合計數問題的最終表示式都是卡特蘭數的形式。
那麼我們首先來回到卡特蘭的時代，看一看這個數列的通項是怎麼求解出來的吧。
我們用幾個例子開始闡述問題:
首先是三角形, 只有一種方法分成三角形..就是什麼都不做。
然後是四邊形:
兩種方法可以把四邊形分成三角形
然後是五邊形:
五種方法可以分解乙個五邊形(把乙個角作2條線出來分三角, 有5個角, 故5種分法)
那麼n邊形可以有幾種方法分成三角呢?
我們可以用一種「填括號」的方式來說明這個問題。也就是一種「對應方法」。
我們可以把這n+2條邊用1,2，...,n+2來編號。在分好的三角形中，先把連線相鄰兩個頂點的對角線找出來，那麼他們相當於是把兩條相鄰的邊連線起來，那麼我們可以把這兩條邊對應的數字用括號括起來。括起來的目的是把這兩條邊看成乙個整體，因為兩條中的任意一條都無法與其他的邊相連了。在圖形上，我們可以這樣操作：把括起來的兩條邊擦掉，然後把連線他們的對角線看成新的邊，然後在這些邊中繼續上面的操作。
比如上面這張圖就可以這樣表示：
1(（（23 ) 4）(56))
那麼從最後乙個數（n+2）開始數起，數字的個數至少要比左括號（「（」）的個數多1：這是因為邊之間連線為兩個數字添乙個括號，對角線與邊連線相當於增加1個數字和增加乙個括號。而我們知道n+2條邊有n-1條對角線，我們如果把剛才的數字記成1（也就是邊的個數），把剛才的左括號（注意我們不考慮右括號是因為左括號確定以後右括號的補法是唯一確定的，並且左括號的個數比對角線個數多1）記成-1，那麼上面這種排列就成了
1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1
於是這個問題又變成了n個-1和n+2個1排列，並且從右邊數1的個數始終多於-1的情況數。
慢著，我們先回顧一下：剛才我們在分三角形，最後怎麼變成排-1和1了？這就是前文所說的「對應方法」：分三角形也好，填括號也好，排-1和1也好，這三種不同的情景實際上是同乙個問題的邊形，它們所有可能的情況數是一模一樣的。
最後，我們把答案算出來：首先最右的兩個一定是1（最右邊兩個位置只能放數字不能放左括號），所以不妨把它們看做乙個整體。那麼就變成了2n+1個數排列的問題，並且從右往左數1始終不少於-1的個數。先不管這個要求，並且我們不需要考慮最右邊的那個1，那麼相當於在左邊2n個位子選出n個放-1，結果是；然後再考慮不符合要求的數目：如不符合要求，則這個數從右往左數的時候，存在一項，在這項右邊的-1正好比1多1個.然後從這個數開始，把左邊的1變成-1，-1變成1.那麼-1的數量就變成了n+1個，1變成了n-1個（不算最右邊的那個1）。
類似的，乙個由n+1個-1，n-1個1組成的數，由於-1的總數比1多2，所以這些數排列好以後，一定存在某一項，使得其右邊的-1正好比1多1。並且這一項左邊（包括這項自己）中-1也比1多1.將這一項左邊（包括這項自己）中所有數的1變成-1，-1變成1，於是又變成了n個1，n個-1，並且存在一項，在這項右邊的-1正好比1多1個的排列。
繞這個圈子是想說明一件事：不符合要求的數目和n+1個-1，n-1個1的排列數是一樣的。於是相當於2n個位子選出n+1個放-1結果是.
最終求出的卡特蘭數列的通項就是tn=
這是乙個非常重要的數列，通項也不難記，小夥伴們可以小小地記憶一下噢
從剛剛的計算中，小夥伴們也發現了，這個數列可以是這麼多不同情境下的計數問題的答案（並且這個數列和課上所講的「折線法」也有千絲萬縷的關係呢，小夥伴們你們發現了麼？）。也許對於這個計算你還有疑問或者更好的方法，歡迎帶著你的問題繼續討論！
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