ACM 數論小結

2021-06-24 11:10:35 字數 2291 閱讀 9478

斷斷續續的學習數論已經有一段時間了,學得也很雜,現在進行一些簡單的回顧和總結。

學過的東西不能忘啊。。。

1、本原勾股數:

概念:乙個三元組(a,b,c),其中a,b,c沒有公因數而且滿足:a^2+b^2=c^2

首先,這種本原勾股數的個數是無限的,而且構造的條件滿足:

a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2

其中s>t>=1是任意沒有公因數的奇數!

由以上概念就可以匯出任意乙個本原勾股陣列。

2、素數計數(素數定理)

令π(x)為1到x中素數的個數

19世紀最高的數論成就就是以下這個玩意兒:

lim(x->∞)=1

數論最高成就,最高成就!!!有木有!!!

3、哥德**猜想(1+1)

乙個大偶數(>=4)必然可以拆分為兩個素數的和,雖然目前還沒有人能夠從理論上進行證明,不過我根據科學家們利用計算機運算的結果,如果有乙個偶數不能進行拆分,那麼這個偶數至少是乙個上百位的數!!

所以在acm的世界中(資料量往往只有2^63以下)哥德**猜想是成立的!!所以拆分程式一定能夠實現的

4、哥德**猜想的推廣

任意乙個》=8的整數一定能夠拆分為四個素數的和

證明:先來說8=2+2+2+2,(四個最小素數的和)不能再找到比2小的素數了,所以當n小於8,就一定不可能拆分為四個素數的和!

那麼當n大於等於8,可以分情況討論:

(1)n&1==0(n為偶數),那麼n就一定可以拆分為兩個偶數的和

那麼根據哥德**猜想,偶數可以拆分為兩個素數的和,於是,n一定可以拆分為四個素數的和

(2)n&1==1(n為奇數),n一定可以拆分為兩個偶數+1

由於有乙個素數又是偶數,2,那麼奇數一定有如下拆分:2+3+素數+素數

得證。5、尤拉函式(尤拉公式)

尤拉函式ph(n)的意思是所有小於n且與n互質的數的個數

比如說ph(12)=4,[1,5,7,11與12互質]

尤拉公式

a^ph(m)=1(mod m)

6、費馬小定理

費馬小定理是尤拉公式的一種特殊情況

由於當p為質數的時候ph(p)=p-1這是顯然的

那麼帶入尤拉公式就得到了費馬小定理

a^(p-1)=1(mod p)

p為質數(prime)

7、抽屜原理

抽屜原理其實是廢話,關鍵在於運用

這句廢話是說,如果現在有3個蘋果,放進2個抽屜,那麼至少有乙個抽屜裡面會有兩個蘋果,這個很廢話。

8、抽屜原理的運用

抽屜原理本身只是一句廢話,不過他的運用卻非常強大

現在假設有乙個正整數序列a1,a2,a3,a4.....an,試證明我們一定能夠找到一段連續的序列和,讓這個和是n的倍數,該命題的證明就用到了抽屜原理

我們可以先構造乙個序列si=a1+a2+...ai

然後分別對於si取模,如果其中有乙個sk%n==0,那麼a1+a2+...+ak就一定是n的倍數(該種情況得證)

下面是上一種情況的反面,即任何乙個sk對於n的餘數都不為0

對於這種情況,我們可以如下考慮,因為si%n!=0

那麼si%n的範圍必然在1——(n-1),所以原序列si就產生了n個範圍在1——(n-1)的餘數,於是抽屜原理就來了,n個數放進n-1個盒子裡面,必然至少有兩個餘數會重複,那麼這兩個sk1,sk2之差必然是n的倍數,

而sk1-sk2是一段連續的序列,那麼原命題就得到了證明了

9、判斷n!是否能夠被m整除

計算方法是把m進行質因數分解,看下m的每乙個質因數是否能夠在n!中找到;

n!中間包含了多少個x(x是任意的乙個數,不過一般情況下我們都只討論x為質數),這種問題的答案是:

n/x+n/(x^2)+n/(x^3).....[一直加到x的乘方不超過n],這個定理的證明也非常的簡單,這裡就不再贅述了

根據以上觀點,就可以分別計算m的每乙個質因數是否被完全包含,如果有乙個沒有被包含,那麼就不能被整除!

10、因子和的計算方法

神馬叫因子和:乙個數的所以因子的和就叫因子和。。。

好吧,舉個例子:12的因子和為:1+2+3+4+6+12

計算方法是把12分解為質因數的表達形式2^2*3

那麼他的因子和就是:(1+2+2^2)*(1+3)

證明寫起來比較麻煩,大體上思路就是牛頓二項式。。。

11、判斷組合數c(n,m)的奇偶性

有乙個我也不知道證明的方法

當n&m==m為奇數,反之就是偶數

就總結到這兒了。

以前大一也總結過一片類似的,不過那時候之總結了一點關於歐幾里得演算法之類的。

——bingshen

ACM數論總結

斷斷續續的學習數論已經有一段時間了,學得也很雜,現在進行一些簡單的回顧和總結。學過的東西不能忘啊。1 本原勾股數 概念 乙個三元組 a,b,c 其中a,b,c沒有公因數而且滿足 a 2 b 2 c 2 首先,這種本原勾股數的個數是無限的,而且構造的條件滿足 a s t,b s 2 t 2 2,c s...

ACM常用模板 數論

一 全排列 設一組數p 全排列為perm p pn p 則perm p r1perm p1 r2perm p2 r3perm p3 rnperm pn 當n 1時perm p r1。如 求的全排列 1 首先看最後兩個數4,5。它們的全排列為4 5和5 4,即以4開頭的5的全排列和以5開頭的4的全排列...

ACM數論 連分數問題

乙個高為n的連分數定義為 給出2個數,乙個用p q的方式表達,另乙個用高度為n的連分數來表示,請你判斷他們是否相等。輸入有多組,每組包含兩部分用來表示兩種形式的分數 第一部分是p和q 1 q p 10 18 表示分數p q 然後是乙個數字n 1 n 90 和由n個數 ai 1 ai 10 18 代表...