動態規劃解最長公共子串行問題

2021-06-25 10:47:51 字數 2592 閱讀 8643

動態規劃法

經常會遇到複雜問題不能簡單地分解成幾個子問題,而會分解出一系列的子問題。簡單地採用把大問題分解成子問題,並綜合子問題的解匯出大問題的解的方法,問題求解耗時會按問題規模呈冪級數增加。

為了節約重複求相同子問題的時間,引入乙個陣列,不管它們是否對最終解有用,把所有子問題的解存於該陣列中,這就是動態規劃法所採用的基本方法。

【問題】 

求兩字串行的最長公共字元子串行

問題描述:字串行的子串行是指從給定字串行中隨意地(不一定連續)去掉若干個字元(可能乙個也不去掉)後所形成的字串行。令給定的字串行x=

「x0,x1

,…,xm-1」,序列y=

「y0,y1

,…,yk-1」是x

的子串行,存在x

的乙個嚴格遞增下標序列,i1

,…,ik-1>

,使得對所有的j=0

,1,…,k-1

,有xij=yj

。例如,x=

「abcbdab

」,y=

「bcdb

」是x的乙個子串行。

考慮最長公共子串行問題如何分解成子問題,設a=

「a0,a1

,…,am-1」,b=

「b0,b1

,…,bm-1」,並z=

「z0,z1

,…,zk-1」為它們的最長公共子串行。不難證明有以下性質: (1

) 如果am-1=bn-1

,則zk-1=am-1=bn-1

,且「z0

,z1,…,zk-2」是「a0

,a1,…,am-2」和「b0

,b1,…,bn-2」的乙個最長公共子串行; (2

) 如果am-1!=bn-1

,則若zk-1!=am-1

,蘊涵「z0

,z1,…,zk-1」是「a0

,a1,…,am-2」和「b0

,b1,…,bn-1」的乙個最長公共子串行; (3

) 如果am-1!=bn-1

,則若zk-1!=bn-1

,蘊涵「z0

,z1,…,zk-1」是「a0

,a1,…,am-1」和「b0

,b1,…,bn-2」的乙個最長公共子串行。

這樣,在找a

和b的公共子串行時,如有am-1=bn-1

,則進一步解決乙個子問題,找「a0

,a1,…,am-2」和「b0

,b1,…,bm-2」的乙個最長公共子串行;如果am-1!=bn-1

,則要解決兩個子問題,找出「a0

,a1,…,am-2」和「b0

,b1,…,bn-1」的乙個最長公共子串行和找出「a0

,a1,…,am-1」和「b0

,b1,…,bn-2」的乙個最長公共子串行,再取兩者中較長者作為a

和b的最長公共子串行。

求解:引進乙個二維陣列c,用c[i][j]記錄x[i]與y[j] 的lcs 的長度,b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪乙個子問題的值求得的,以決定搜尋的方向。

我們是自底向上進行遞推計算,那麼在計算c[i,j]之前,c[i-1][j-1],c[i-1][j]與c[i][j-1]均已計算出來。此時我們根據x[i] = y[j]還是x[i] != y[j],就可以計算出c[i][j]。

問題的遞迴式寫成:

回溯輸出最長公共子串行過程:

演算法分析:

由於每次呼叫至少向上或向左(或向上向左同時)移動一步,故最多呼叫(m + n)次就會遇到i = 0或j = 0的情況,此時開始返回。返回時與遞迴呼叫時方向相反,步數相同,故演算法時間複雜度為θ(m + n)。

**:

#include #include #define maxlen 100

void lcslength(char *x, char *y, int m, int n, int c[maxlen], int b[maxlen])

else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])

else}}

}void printlcs(int b[maxlen], char *x, int i, int j)

else if(b[i][j] == 1)

printlcs(b, x, i-1, j);

else

printlcs(b, x, i, j-1);

}int main(int argc, char **argv)

; char y[maxlen] = ;

int b[maxlen][maxlen];

int c[maxlen][maxlen];

int m, n;

m = strlen(x);

n = strlen(y);

lcslength(x, y, m, n, c, b);

printlcs(b, x, m, n);

return 0;

}

動態規劃解最長公共子串行問題

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動態規劃解最長公共子串行問題bug

昨天寫動態規劃解最長公共子串行問題是出錯了,糾結了我一天,浪費了好多時間。問題是這樣的,源 include include includeusing namespace std int a 1001 1001 char s1 1000 s2 1000 int max int x,int y int ...