如何判斷單鏈表裡面是否有環?

2021-06-25 15:26:57 字數 1325 閱讀 6602

如何判斷單鏈表裡面是否有環?

演算法的思想是設定兩個指標p, q,其中p每次向前移動一步,q每次向前移動兩步。那麼如果單鏈表存在環,則p和q相遇;否則q將首先遇到null。

這裡主要理解乙個問題,就是為什麼當單鏈表存在環時,p和q一定會相遇呢?

假定單鏈表的長度為n,並且該單鏈表是環狀的,那麼第i次迭代時,p指向元素i mod n,q指向2i mod n。因此當i≡2i(mod n)時,p與q相遇。而i≡2i(mod n) => (2i - i) mod n = 0 => i mod n = 0 => 當i=n時,p與q相遇。這裡乙個簡單的理解是,p和q同時在操場跑步,其中q的速度是p的兩倍,當他們兩個同時出發時,p跑一圈到達起點,而q此時也剛 好跑完兩圈到達起點。

那麼當p與q起點不同呢?假定第i次迭代時p指向元素i mod n,q指向k+2i mod n,其中0(i+k) mod n = 0 => 當i=n-k時,p與q相遇。

解決方案:

推廣:1. 如果兩個指標的速度不一樣,比如p,q,( 0  (pi) mod n = ( k+ qi ) mod n =>[ (q -p)i + k ]  mod n =0

=>  (q-p)i + k  = nn [n 為自然數]

=>  i = (nn -k) /(p-q)

i取自然數,則當 p,q滿足上面等式 即 存在乙個自然數n,可以滿足nn -k 是 p - q 的倍數時,保證兩者相交。

特例:如果q 是p 的步長的兩倍,都從同乙個起點開始,即 q = 2p , k =0, 那麼等式變為: nn=i: 即可以理解為,當第i次迭代時,i是圈的整數倍時,兩者都可以交,交點就是為起點。

2.如何判斷單鏈表的環的長度?

這個比較簡單,知道q 已經進入到環裡,儲存該位置。然後由該位置遍歷,當再次碰到該q 位置即可,所迭代的次數就是環的長度。

3. 如何找到鍊錶中第乙個在環裡的節點?

假設鍊錶長度是l,前半部分長度為k-1,那麼第乙個再環裡的節點是k,環的長度是 n, 那麼當q=2p時, 什麼時候第一次相交呢?當q指標走到第k個節點時,q指標已經在環的第 k mod n 的位置。即p和q 相差k個元素,從不同的起點開始,則相交的位置為 n-k, 則有了下面的圖:

從圖上可以明顯看到,當p從交點的位置(n-k) ,向前遍歷k個節點就到到達環的第乙個幾點,節點k.

演算法就很簡單: 乙個指標從p和q 中的第一次相交的位置起(n-k),另外乙個指標從煉表頭開始遍歷,其交點就是鍊錶中第乙個在環裡的交點。

4. 如果判斷兩個單鏈表有交?第乙個交點在**?

這個問題畫出圖,就可以很容易轉化為前面的題目。

將其中乙個鍊錶中的尾節點與頭節點聯絡起來,則很容發現問題轉化為問題3,求有環的鍊錶的第乙個在環裡的節點。

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