最長遞增子串行

最長遞增子串行這種問題一般都是通過動態規範來解決，而動態規範一直不得它的精髓，今日看到一篇文章，感覺不錯，以此自勉

第一種解決方式：

設長度為n的陣列為，則l(0)=1, l(1)=2, l(2)=3, l(3)=1, l(4)=2, l(5)=4。所以該陣列最長遞增子串行長度為4，序列為。演算法**如下：

int lis(int arr, int len)

} } int max = 0;

for (int j=0; jcout <

if (longest[j] > max) max = longest[j]; //從longest[j]中找出最大值

} return max;

} 比較通俗的解決方式，另外一種解決方式是通過乙個陣列記錄一些相應的子串長度的最後一位的最大值

假設存在乙個序列d[1..9] =，可以看出來它的lis長度為5。

下面一步一步試著找出它。

我們定義乙個序列b，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。

此外，我們用乙個變數len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到b裡，令b[1] = 2，就是說當只有1乙個數字2的時候，長度為1的lis的最小末尾是2。這時len=1

然後，把d[2]有序地放到b裡，令b[1] = 1，就是說長度為1的lis的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>b[1]，所以令b[1+1]=b[2]=d[3]=5，就是說長度為2的lis的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候b[1..2] = 1, 5，len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的lis最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的lis最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候b[1..2] = 1, 3，len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，因為b[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知b[3] = 6, 這時b[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到b[3] = 4。b[1..3] = 1, 3, 4， len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是b[4] = 8。len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到b[5] = 9，嗯。len繼續增大，到5了。

最後乙個, d[9] = 7，它在b[3] = 4和b[4] = 8之間，所以我們知道，最新的b[4] =7，b[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，len = 5。

於是我們知道了lis的長度為5。

注意，這個1,3,4,7,9不是lis，它只是儲存的對應長度lis的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以乙個乙個地插入資料。雖然最後乙個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出lis的長度為6。

然後應該發現一件事情了：在b中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查詢，將每乙個數字的插入時間優化到o(logn)~~~~~於是演算法的時間複雜度就降低到了o(nlogn)～！

**如下（**中的陣列b從位置0開始存資料）：

cpp**

#include

#define n 9 //陣列元素個數

int array[n] = ; //原陣列

int b[n]; //在動態規劃中使用的陣列,用於記錄中間結果,其含義三言兩語說不清,請參見博文的解釋

int len; //用於標示b陣列中的元素個數

int lis(int *array, int n); //計算最長遞增子串行的長度,計算b陣列的元素,array迴圈完一遍後,b的長度len即為所求

int bisearch(int *b, int len, int w); //做了修改的二分搜尋演算法

int main()

return 0;

} int lis(int *array, int n)

else

} return len;

} //修改的二分查詢演算法，返回陣列元素需要插入的位置。

int bisearch(int *b, int len, int w)

return left;//陣列b中不存在該元素，則返回該元素應該插入的位置

}

最長遞增子串行

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