這裡討論的計算方法指的是利用現有的matlab函式來求解，而不是根據具體的數值計算方法來編寫相應程式。目前最新版的2009a有關於一般區域二重積分的計算函式quad2d，但沒有一般區域三重積分的計算函式，而nit工具箱似乎也沒有一般區域三重積分的計算函式。
本貼的目的是介紹一種在7.x版本matlab（不一定是2009a）裡求解一般區域二重三重積分的思路方法。需要說明的是，在matlab的dblquad幫助文件裡已經討論了一種求解一般區域二重三重積分的思路方法，就是將被積函式「延拓」到矩形或者長方體區域，但是這種方法不可避免引入很多乘0運算浪費時間。因此，新的思路將避免這些。由於是呼叫已有的matlab函式求解，在求一般區域二重積分時，效率和2009a的quad2d相比有一些差距，但是相對於"延拓"函式的做法，效率大大提高了。下面結合一些簡單例子說明下計算方法。
譬如二元函式f(x,y) = x*y，y從sin(x)積分到cos(x)，x從1積分到2，這個積分可以很容易用符號積分算出結果
syms x
yint(int(x*y,y,sin(x),cos(x)),1,2) ]
結果是
-1/2*cos(1)*sin(1)-1/4*cos(1)^2+cos(2)*sin(2)+1/4*cos(2)^2 =
-0.635412702399943
複製**
如果你用的是2009a，你可以用
quad2d(@(x,y)
x.*y,1,2,@(x)sin(x),@(x)cos(x),'abstol',1e-12)
複製**
得到上述結果。
如果用的不是2009a，那麼你可以利用nit工具箱裡的quad2dggen函式。
那麼我們如果既沒有nit工具箱用的也不是2009a，怎麼辦呢？
答案是我們可以利用兩次quadl函式，注意到quadl函式要求積分表示式必須寫成向量化形式，所以我們構造的函式必須能接受向量輸入。見如下**
function
intdemo
function f1 = myfun1(x)
f1 = zeros(size(x));
for k =
1:length(x)
f1(k) = quadl(@(y)
x(k)*y,sin(x(k)),cos(x(k)));
endend
y =
quadl(@myfun1,1,2)
end
複製**
myfun1函式就是構造的原始被積函式對y積分後的函式，這時候是關於
x的函式，要能接受向量形式的x輸入，所以構造這個函式的時候考慮到x是向量的情況。
quadl(@(x)
arrayfun(@(xx) quadl(@(y)
xx*y,sin(xx),cos(xx)),x),1,2)
複製**
上面這行**體現了用matlab7.x求一般區域二重積分的一般方法。可以這麼理解這句**：
首先@(x)
arrayfun(@(xx) quadl(@(y)
xx*y,sin(xx),cos(xx)),x)
複製**
定義了乙個關於x的匿名函式，供quadl呼叫求最外重（x從1到2的）積分，這時候，x對於
arrayfun(@(xx)
quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)),x)
複製**
就是已知的了。
而@(xx) quadl(@(y)
xx*y,sin(xx),cos(xx))
複製**
定義的是對於給定的xx,求xx*y關於y的積分函式，這就相當於數學上積完第一重y的積分後得到乙個關於xx的函式
而arrayfun(@(xx)
quadl(@(y) xx*y,sin(xx),cos(xx)),x)
複製**
只是對@(xx) quadl(@(y)
xx*y,sin(xx),cos(xx))
複製**
加了乙個迴圈的殼，保證「積完第一重y的積分後得到乙個關於xx的函式」能夠接受向量化的xx的輸入，從而能夠被quadl呼叫。
有了這個模板，我們可以方便求其他一般積分區域（上下限是函式）形式的二重積分，例如被積函式
f = @(x,y)
exp(sin(x))*ln(y)，y從5*x積分到x^2，x從10積分到20。
用quad2d,上面介紹的方法，還有dblquad幫助文件裡給的延拓函式的方法
tic,y1
= quad2d(@(x,y) exp(sin(x)).*log(y),10,20,@(x)5*x,@(x)x.^2),toc
tic,y2 =
quadl(@(x) arrayfun(@(x) quadl(@(y)
exp(sin(x)).*log(y),5*x,x.^2),x),10,20),toc
tic,y3 = dblquad(@(x,y)
exp(sin(x)).*log(y).*(y>=5*x & y<=x.^2),10,20,50,400),toc
y1 =
9.368671342614414e+003
elapsed time is 0.021152 seconds.
y2 =
9.368671342161189e+003
elapsed time is 0.276614 seconds.
y3 =
9.368671498376889e+003
elapsed time is 1.674544
seconds.
複製**
可見上述方法在2009a以外的版本中不失為一種方法，起碼效率高於dblquad幫助文件裡推薦的做法。更重要的是，這給我們求解一般區域三重積分提供了一種途徑。
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