到二十世紀末，人們對「訊號」這個詞的理解已經發生了微妙的變化。如果在二十世紀上半葉的時候提到乙個訊號，人們還傾向於將它理解為乙個連續的函式。而到下半葉，訊號已經越來越多地對應於乙個離散的陣列。毫無疑問，這是電子計算機革命的後果。
在這樣的情形下，「不確定性原理」也有了新的形式。在連續情形下，我們可以討論乙個訊號是否集中在某個區域內。而在離散情形下，重要的問題變成了訊號是否集中在某些離散的位置上，而在其餘位置上是零。數學家給出了這樣有趣的定理：
乙個長度為 n 的離散訊號中有 a 個非零數值，而它的傅利葉變換中有 b 個非零數值，那麼 a+b ≥ 2√n。
也就是說乙個訊號和它的傅利葉變換中的非零元素不能都太少。毫無疑問，這也是某種新形式的「不確定性原理」。
在上面的定理中，如果已知 n 是素數，那麼我們甚至還有強得多的結論（它是 n. chebotarev 在 1926 年證明的乙個定理的自然推論）：
乙個長度為素數 n 的離散訊號中有 a 個非零數值，而它的傅利葉變換中有 b 個非零數值，那麼 a+b > n。
不幸的是這裡「素數」的條件是必須的。對於非素數來說，第二條命題很容易找到反例，這時第一條命題已經是能夠達到的最好結果了。
這些定理有什麼用呢？如果它僅僅是能用來說明某些事情做不到，就像它字面意思所反映出的那樣，那它的用處當然相對有限。可是——這無疑是辯證法的乙個好例證——這樣一系列宣稱「不確定」的定理，事實上是能夠用來推出某些「確定」的事實的。
設想這樣一種情況：假定我們知道乙個訊號總長度為 n，已知其中有很大一部分值是零，但是不知道是哪一部分（這是很常見的情形，大多數訊號都是如此），於此同時，我們測量出了這個訊號在頻域空間中的 k 個頻率值，但是 k
按照傳統的訊號處理理論，這是不可能的，因為正如前面所說的那樣，頻域空間和原本的時空域相比，資訊量是一樣多的，所以要還原出全部訊號，必須知道全部的頻域資訊，就象是要解出多少個未知數就需要多少個方程一樣。如果只知道一部分頻域資訊，就像是只知道 k 個方程，卻要解出 n 個未知數來，任何乙個學過初等代數的人都知道，既然 k
但是借助不確定性原理，卻正可以做到這一點！原因是我們關於原訊號有乙個「很多位置是零」的假設。那麼，假如有兩個不同的訊號碰巧具有相同的 k 個頻率值，那麼這兩個訊號的差的傅利葉變換在這 k 個頻率位置上就是零。另一方面，因為兩個不同的訊號在原本的時空域都有很多值是零，它們的差必然在時空域也包含很多零。不確定性原理（乙個函式不能在頻域和時空域都包含很多零）告訴我們，這是不可能的。於是，原訊號事實上是唯一確定的！
這當然是乙個非常違反直覺的結論。它說明在特定的情況下，我們可以用較少的方程解出較多的未知數來。這件事情在應用上極為重要。乙個簡單的例子是醫學核磁共振技術（很多家裡有重病患者的朋友應該都聽說過這種技術）。核磁共振成像本質上就是採集身體影象的頻域資訊來還原空間資訊。由於採集成本很高，所以核磁共振成像很昂貴，也很消耗資源。但是上述推理說明，事實上核磁共振可以只採集一少部分頻域資訊（這樣成本更低速度也更快），就能完好還原出全部身體影象來，這在醫學上的價值是不可估量的。
在今天，類似的思想已經被應用到極多不同領域，從醫學上的核磁共振和 x 光斷層掃瞄到石油勘測和衛星遙感。簡而言之：不確定性可以讓測量的成本更低效果更好，雖然這聽起來很自相矛盾。
糟糕的是，本篇開頭所描述的那個不確定性定理還不夠強，所能帶來的對頻域測量的節省程度還不夠大。但是數學上它又是不可改進的。這一僵局在本世紀初被打破了。e. candès 和陶哲軒等人證明了一系列新的不確定性原理，大大提高了不等式的強度，付出的代價是……隨機性。他們的定理可以粗略敘述為：
乙個長度為 n 的離散訊號中有 a 個非零數值，而它的傅利葉變換中有 b 個非零數值，那麼 a+b 以極大概率不小於 n/√(log n) 乘以乙個常數。
這裡的「極大概率」並不是乙個生活用語，而是乙個關於具體概率的精確的數學描述。換言之，雖然在最倒霉的情況下不確定性可以比較小，但是這種情況很罕見。一般來說，不確定性總是很大。於是可以帶來的測量上的節約也很大。
這當然也是一種「不確定性原理」，而且因為引入了隨機性，所以在某種意義上來說比原先的定理更「不確定」。在他們的工作的基礎上，一種被稱為「壓縮感知」的技術在最近的五六年內如火如荼地發展起來，已經成為涵蓋訊號處理、資訊提取、醫學成像等等多個工程領域的最重要的新興工程技術之一。
不過，這些後續的發展估計是遠遠超出海森堡的本意了。
（完）
不確定性原理的前世今生 數學篇（二）
傅利葉變換這種對偶關係的本質，是把一塊資訊用徹底打亂的方式重新敘述一遍。正如前面所提到的那樣，乙個訊號可能在空域上顯得內容豐富，但是當它在頻域上被重新表達出來的時候，往往就在大多數區域接近於零。反過來這個關係也是對稱的 乙個空域上大多數區域接近於零的訊號，在頻域上通常都會佔據絕大多數頻率。有沒有一種...
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