9月21日，對本文從格式到部分內容上都進行了修改
今天看了一位師兄去年的筆經總結，其中有一題是「不許用%和/來實現求任意數除以3的餘數」，我想考官的目的應該是想考察學生對位運算的熟悉程度吧，於是我把題目擴充套件成「只能用+,-和位運算實現正整數除法(/)和取模(%)」，注意：這裡不能使用其它的庫例程來輔助計算，如log,log10等。在思考這道題目的過程中，我又涉及到了許多二進位制相關的題目，如：
判斷給定的整數是不是2的整數次冪
判斷給定的整數是不是4的整數次冪
求給定整數的二進位制表示中1的個數
求給定整數的二進位制表示中0的個數
求給定整數的二進位制表示中最高位1的位置
求大於等於給定整數的最小的2的整數次冪
求給定整數的二進位制表示的有效位數
...9月21日補充：這裡只考慮值為正整數的情況。
這些題目都是經典老題，頻繁出現於各類筆試面試題中，除了能考察位運算外，還能考察應聘者能否給出創新的演算法來更好地解決問題。可以說這些題目都不難，如果使用32位的int來表示整數的話，蠻力法都可以比較好地完成任務，但是如果想盡可能地提高效率，那就需要動一番腦經了。下面給出我對這些問題的整理和c++實現，並在下次的文章中給出只用+,-和位運算實現的正整數除法和取模。
從某種意義上講，特別是從充分利用底層硬體的計算能力(利用特殊的cpu指令)來看，這些解法肯定不是最優的，所以還希望大俠們多多指點。
判斷給定的整數是不是2的整數次冪
這應該是最簡單的，利用最高位是1，其後所有位為0的特性，常數時間解決問題：
1 //判斷n是否是2的正整數冪
2 inline bool is_2exp(unsigned int n)
3 求給定整數的二進位制表示中1的個數
考慮到n-1會把n的二進位制表示中最低位的1置0並把其後的所有0置1，同時不改變此位置前的所有位，那麼n&(n-1)即可消除這個最低位的1。這樣便有了比順序列舉所有位更快的演算法：迴圈消除最低位的1，迴圈次數即所求1的個數。此演算法的時間複雜度為o(n的二進位制表示中的1的個數)，最壞情況下的複雜度o(n的二進位制表示的總位數)。
1//計算n的二進位制表示中1的個數
2inline int count1(unsigned int n)
310 return r;
11} 既然有了求給定整數的二進位制表示中1的個數的辦法，那麼想要求給定整數的二進位制表示中0的個數就很簡單了。事實上，在二進位制中，完全可以把0和1看作是對稱的兩個物件，取反操作(~)可以任意的切換這兩個物件，只要先對n進行一次取反，然後再用上述演算法即能得到二進位制表示中0的個數。首先看下面的**：
1//計算n的二進位制表示中0的個數
2inline int count0_wrong(unsigned int n)
311 return r;
12} 不知大家有沒有看出問題來？是的,~操作符會把所有高位的都取反，而不是只把有效位取反，所以我們需要乙個能保持高位不變的位取反操作，下面是我的實現，時間複雜度和求二進位制表示中1的個數的演算法相同，都與二進位制表示中1的個數有關：
1//保持高位取反
2inline unsigned int negate_bits(unsigned int n)
31112 return r;
13} 有了這個特殊的取反操作，求給定整數的二進位制表示中0的個數的辦法就簡單了：
1//計算n的二進位制表示中0的個數
2inline int count0( unsigned int n)
311 return r;
12} 看到這裡，聰明的讀者肯定看出問題來了，其實我幹了一件很蠢的事情。看看上述演算法的時間複雜度，negate_bits花了o(n的二進位制表示中1的個數)，while迴圈計算取反後的n的二進位制表示中1的個數，事實上就是o(n的二進位制表示中0的個數)，兩部分加起來其實就是二進位制表示總的有效位數，換句話說，這個演算法是線性的，而事實上，我們完全可以先線性地求出這個總的有效位數，然後減去1的位數，即得到0的位數，根本不用費那麼大勁去整個保持高位的取反操作，兩者的時間複雜度在漸進意義上也是相同的。所以，我犯傻了，但是這裡又引出另乙個問題：
求給定整數的二進位制表示的有效位數
上面提到了線性地求這個位數(下文記為m)，即「迴圈右移1位，記錄右移次數」，時間複雜度o(m)。但是我想，一看到這個題目，所有人的第一反應應該是floor(log2(n))+1吧，但是請注意，本文在一開始就規定了「不能使用庫例程」，那麼在這個限制下該怎麼做呢？有沒有比線性時間更好的演算法呢？其實到目前為止我也沒有什麼特別好的演算法，希望誰有什麼精妙的演算法能指點一下，不要打我。。。
1//求給定整數的二進位制表示的位數，線性演算法
2int count_bit(unsigned int n)
310 return r;
11} 求大於等於給定整數的最小的2的整數次冪
首先是最簡單的思路：求出n的二進位制表示的總位數m，於是1<>= 1;
12 r <<= 1;
13 }
1415 return r;
16} 事實上這就涉及到上面求二進位制表示位數的問題，所以目前為止在此基礎上的演算法都是線性時間的。
那有沒有不用計算位數m，從而效率更好的演算法呢，能不能像在計算二進位制表示中1的個數時那樣根據1的個數來設計演算法呢？回到那一題中，「n-1會把n的二進位制表示中最低位的1置0並把其後的所有0置1」，那麼n|=n-1就把n的二進位制表示中最低位1後的所有0置1，再加上1，那麼就把最低位1左移了一位。於是，便有了更好的演算法：迴圈左移最低位的1，直到n是2的整數次冪。該演算法跟二進位制表示中的1的個數和位置有關，最壞時間複雜度還是o(二進位制表示位數)，但是比起上乙個實現，這個演算法在多數情況下都比上乙個演算法快。實現如下：
1//求大於等於n的最小的2的正整數冪，方法2
2//計算時間與n的二進位制表示中1的個數和位置有關，比方法1效率高
3//最壞情況下的時間複雜度與方法1相同
4unsigned int high_2exp_2(unsigned int n)
51314 return n;
15}
最後來乙個簡單的擴充題目：
判斷給定的整數是不是4的整數次冪
觀察4的整數次冪的特徵，容易發現除了滿足n&(n-1)==0外，唯一的1位後的0的個數是偶數，這從4x=22k也能簡單地得到。這就很直觀地衍生出乙個簡單的演算法：
1//判斷n是否是4的整數次冪
2bool is_4exp(unsigned int n)
3 演算法很直觀，但是比起is_2exp的常數時間is_4exp的線性時間總讓我覺得不能接受，不過無奈還是沒有想出好辦法來，哎。。。求大牛指點啊
再說明：換了ie後就沒再出問題了，不過寫著寫著發現寫了好久，先歇會兒，得看書補習功課了
關於位運算
今天看k神的一篇題解，看到一些關於位運算的技巧。又想起以前學長川哥給的一篇位運算對集合處理的技巧的pdf。所以就一起整理一下。各種位運算子的功能就不累述了。集合的位運算表示 來自川哥給的pdf 基本表示 1.空集 0 2.全集 1 3.只含有第 i 個元素的集合1 集合間的操作 1.s 與 t 的並...
關於 位運算
位運算 位運算是把數字用二進位制表示之後，對每一位上0或者1的運算。理解位運算的第一步是理解二進位制。二進位制是指數字的每一位都是0或者1.比如十進位制的2轉化為二進位制之後就是10。在程式設計師的圈子裡有乙個流傳了很久的笑話，說世界上有10種人，一種人知道二進位制，而另一種人不知道二進位制。其實二...
關於位運算
主要 1.如果兩個相應的二進位制位都為 則該位的結果值為1 否則為0。是二進位制 與 運算，參加運算的兩個數的二進位制按位進行運算，運算的規律是 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 對於參加運算的數要換算為二進位制進行運算，例如3 2的結果是2，過程如下 3 2 0111 0010 00...