下取樣是間隔乙個抽取乙個數值，而上取樣則是間隔一位插入乙個0。對訊號x（n）進行下取樣得到的y（n）=x（2n）。反過來對x（n）進行上取樣得到的y（n）分為兩部分，y（2n）=x（n）；y（2n+1）=0。從定義來看，上取樣之後進行下取樣可以得到訊號的重構，而返過來似乎不能滿足訊號的重構。實際上，先進行下取樣然後進行上取樣同樣可以對訊號進行重構，只需要下取樣的頻率不要低於夏農定理所規定的頻率就可以了。
上面是上取樣和下取樣在空間域的分析，下面來看上取樣和下取樣在頻率域的分析。
上取樣的實際上等於x(2w)+0；而下取樣的證明將exp((w/2+pi)*x*i）=exp（(w/2)*x*i）*（cos(x*pi)+i*sin(x*pi)），當x為奇數時，則等式為0，剛好在奇數字置為0。下取樣時，頻率域為原來的1/2，而上取樣則為原來的2倍，當進行抽取時，實際上就相當於取樣，原來的兩個數值取樣為乙個數值相當於頻率降低一半；而插值處理則相當於每經過乙個數值就需要返回到0一次，因此頻率大幅度提高。
下取樣頻率降低可能導致訊號出現混疊，而上取樣頻率公升高則可能導致在一定的時間段內出現多個訊號，學術定義為映像。先進行上取樣然後進行下取樣不會出現問題，而反過來先進行下取樣然後進行上取樣則可能導致即出現混疊又出現映像。
上面是z變換和傅利葉變換之間的關係，後面會有兩者之間的轉換。
從上面的分析可以看出，如果下取樣之前得到的頻率範圍限制在[-pi/2，pi/2]的範圍內就不會出現混疊效應，因為下取樣之後得到的頻率是原來頻率的2倍。那麼怎樣保證頻率在[-pi/2，pi/2]內呢？根據前面的理想低通濾波器就可以滿足。同樣對於上取樣之後，由於頻率降低為原來的一半，因此可能出現映像現象，因此同樣需要乙個低頻濾波器作進一步處理。
通過上節的分析可以知道，高通濾波器可以通過低通濾波器平移乙個pi相位得到。高通濾波和低通濾波實際上是乙個半帶濾波。
小波與濾波器組（3）
由上面的公式可知，t z 可以轉化為兩個多項式x z 和x z 的和，根據多項式原理 若想要t z n x z 則需要滿足x z 部分等於0，而x z 部分不等於0。也就是必須滿足上訴等式，重構才能成立。後面的z的 l次方是常數在z變換下的結果。逆變換之後不會改變原來的訊號。由於上面的式子是x z ...
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FIR濾波器與IIR濾波器
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