齊次座標的理解

2021-06-28 02:36:27 字數 1830 閱讀 9992

在乙個叫做「三百年 重生」的部落格上看到一篇關於透視投影變換的**的文章,其中有對齊次座標有非常精闢的說明,特別是針對這樣一句話進行了有力的證明:「齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一,它既能夠用來明確區分向量和點,同時也更易用於進行

仿射(線性)幾何變換。」—— f.s. hill, jr。

下面是作者對齊次座標的理解:

對於乙個向量v以及基o-a-b-c,可以找到一組座標(v1,v2,v3),使得v = v1 a + v2 b + v3c

(1)而對於乙個點p,則可以找到一組座標(p1,p2,p3),使得 p - o = p1 a + p2 b + p3c

(2)從上面對向量和點的表達,我們可以看出為了在座標系中表示乙個點(如p),我們把點的位置看作是對這個基的原點o所進行的乙個位移,即乙個向量—>p – o(有的書中把這樣的向量叫做位置向量——起始於座標原點的特殊向量),我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了點p:p = o + p1 a + p2 b + p3c

(3)(1) (3) 是座標系下表達乙個向量和點的不同表達方式。這裡可以看出,雖然都是用代數分量的形式表達向量和點,但表達乙個點比乙個向量需要額外的資訊。如果我寫出乙個代數分量表達(1, 4, 7),誰知道它是個向量還是個點!

我們現在把(1) (3) 寫成矩陣的形式:v = (v1 v2 v3 0) x (a b c o)

p = (p1 p2 p3 1) x (a b c o),這裡(a,b,c,o)是座標基矩陣,右邊的列向量分別是向量v和點p在基下的座標。這樣,向量和點在同乙個基下就有了不同的表達:3d向量的第4個代數分量是0,而3d點的第4個代數分量是1。像這種這種用4個代數分量表示3d幾何概念的方式是一種

齊次座標表示。

這樣,上面的(1, 4, 7)如果寫成(1,4,7,0),它就是個向量;如果是(1,4,7,1),它就是個點。下面是如何在普通座標(ordinary coordinate)和齊次座標(homogeneous coordinate)之間進行轉換:

(1)從普通座標轉換成齊次座標時

如果(x,y,z)是個點,則變為(x,y,z,1);

如果(x,y,z)是個向量,則變為(x,y,z,0)

(2)從齊次座標轉換成普通座標時

如果是(x,y,z,1),則知道它是個點,變成(x,y,z);

如果是(x,y,z,0),則知道它是個向量,仍然變成(x,y,z)

以上是通過齊次座標來區分向量和點的方式。從中可以思考得知,對於平移t、旋轉r、縮放s這3個最常見的仿射變換,平移變換只對於點才有意義,因為普通向量沒有位置概念,只有大小和方向。

而旋轉和縮放對於向量和點都有意義,你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以看出,齊次座標用於仿射變換非常方便。

此外,對於乙個普通座標的點p=(px, py, pz),有對應的一族齊次座標(wpx, wpy, wpz, w),其中w不等於零。比如,p(1, 4, 7)的齊次座標有(1, 4, 7, 1)、(2, 8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7, -0.1)等等。因此,如果把乙個點從普通座標變成齊次座標,給x,y,z乘上同乙個非零數w,然後增加第4個分量w;如果把乙個齊次座標轉換成普通座標,把前三個座標同時

除以第4個座標,然後去掉第4個分量。

由於齊次座標使用了4個分量來表達3d概念,使得平移變換可以使用矩陣進行,從而如f.s. hill, jr所說,仿射(線性)變換的進行更加方便。由於圖形硬體已經普遍地支援齊次座標與矩陣乘法,因此更加促進了齊次座標使用,使得它似乎成為圖形學中的乙個標準。

以上很好的闡釋了齊次座標的作用及運用齊次座標的好處。其實在圖形學的理論中,很多已經被封裝的好的api也是很有研究的,要想成為一名專業的計算機圖形學的學習者,除了知其然必須還得知其所以然。這樣在遇到問題的時候才能迅速定位問題的根源,從而解決問題。

齊次座標的理解

一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底,只見大部分的書中說道 齊次座標在仿射變換中非常的方便 然後就沒有了後文,今天在乙個叫做 三百年 重生 的部落格上看到一篇關於透視投影變換的 的文章,其中有對齊次座標有非常精闢的說明,特別是針對這樣一句話進行了有力的證明 齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一,...

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