齊次座標的理解

2021-07-23 05:39:20 字數 3865 閱讀 3395

一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底,只見大部分的書中說道「齊次座標在仿射變換中非常的方便」,然後就沒有了後文,今天在乙個叫做「三百年 重生」的部落格上看到一篇關於透視投影變換的**的文章,其中有對齊次座標有非常精闢的說明,特別是針對這樣一句話進行了有力的證明:「齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一,它既能夠用來明確區分向量和點,同時也更易用於進行仿射(線性)幾何變換。」—— f.s. hill, jr。

由於作者對齊次座標真的解釋的不錯,我就原封不動的摘抄過來:

對於乙個 向量v以及基oabc,可以找到一組座標 (v1,v2,v3) ,使得v= v1a+ v2b +v3c            ( 1 )

而對於乙個 點p,則可以找到一組座標( p1,p2,p3 ),使得po= p1a +p2b+ p3c            ( 2 ),

從上面對 向量 和 點 的表達,我們可以看出為了在座標系中表示乙個 點 (如 p ),我們把點的位置看作是對這個基的原點 o 所進行的乙個位移,即乙個向量—— p – o (有的書中把這樣的向量叫做位置向量 ——起始於座標原點的特殊向量),我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了點

p:p=o+ p1a +p2b+ p3c (3)

(1)(3) 是座標系下表達乙個 向量 和點 的不同表達方式。這裡可以看出,雖然都是用代數分量的形式表達向量和點,但表達乙個點比乙個向量需要額外的資訊。如果我寫出乙個代數分量表達 (1, 4, 7) ,誰知道它是個向量還是個點!

我們現在把( 1 )( 3 )寫成矩陣的形式:v = (v1 v2 v3 0) x (a b c o)

p = (p1 p2 p3 1) x (a b c o), 這裡(a,b,c,o)是座標基矩陣,右邊的列向量分別是向量v和點p在基下的座標。 這樣,向量和點在同乙個基下就有了不同的表達:3d 向量 的第 4 個代數分量是 0 ,而 3d 點 的第 4 個代數分量是 1 。像這種這種用 4 個代數分量表示 3d 幾何概念的方式是一種齊次座標表示。

這樣,上面的 (1, 4, 7) 如果寫成( 1,4,7,0 ),它就是個向量;如果是 (1,4,7,1) ,它就是個點。 下面是如何在普通座標 (ordinary coordinate) 和齊次座標 (homogeneous coordinate) 之間進行轉換:

(1) 從普通座標轉換成齊次座標時

如果 (x,y,z) 是個點,則變為 (x,y,z,1);

如果 (x,y,z) 是個向量,則變為 (x,y,z,0)

(2)從齊次座標轉換成普通座標時

如果是 (x,y,z,1) ,則知道它是個點,變成 (x,y,z);

如果是 (x,y,z,0) ,則知道它是個向量,仍然變成 (x,y,z)

以上是通過齊次座標來區分向量和點的方式。從中可以思考得知,對於平移 t 、旋轉 r 、縮放 s 這 3 個最常見的仿射變換,平移變換只對於點才有意義,因為普通向量沒有位置概念,只有大小和方向.

而旋轉和縮放對於向量和點都有意義,你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以看出,齊次座標用於仿射變換非常方便。

此外,對於乙個普通座標的

點 p=(px, py, pz) ,有對應的一族齊次座標 (wpx, wpy, wpz, w) ,其中 w 不等於零 。比如, p(1, 4, 7)的齊次坐 標有 (1, 4, 7, 1) 、( 2, 8, 14, 2 )、( -0.1, -0.4, -0.7, -0.1 )等等 。 因此,如果把乙個點從普通座標變成齊次座標,給 x,y,z乘上同乙個非零數 w ,然後增加第 4 個分量 w ;如果把乙個齊 次座標轉換成普通座標,把 前三個座標同時除以第 4 個座標,然後去掉第 4 個分量。

由於齊次座標使用了 4 個分量來表達 3d 概念,使得平移變換可以使用矩陣進行,從而如 f.s. hill, jr 所說,仿射(線性)變換的進行 更加方便。由於圖形硬體已經普遍地支援齊次座標與矩陣乘法,因此更加促進了齊次座標使用,使得它似乎成為圖形學中的乙個標準。

以上很好的闡釋了齊次座標的作用及運用齊次座標的好處。其實在圖形學的理論中,很多已經被封裝的好的api也是很有研究的,要想成為一名專業的計算機 圖形學 的 學習者,除了知其然必須還得知其所以然。 這樣在遇到問題的時候才能迅速定位問題的根源,從而解決問題。

另乙個帖子的介紹: 

鐵軌在無限遠處相交於一點

在歐幾里得幾何空間裡,兩條平行線永遠都不會相交。但是在投影空間中,如右圖中的兩條鐵軌在地平線處卻是會相交的,因為在無限遠處它們看起來相交於一點。

在歐幾里得(或稱笛卡爾)空間裡描述2d/3d 幾何物體是很理想的,但在投影空間裡面卻並不見得。 我們用 (x, y ) 表 示笛卡爾空間中的乙個 2d 點,而處於無限遠處的點 (∞,∞) 在笛卡爾空間裡是沒有意義的。投影空間裡的兩條平行線會在無限遠處相交於一點,但笛卡爾空間裡面無法搞定這個問題(因為無限遠處的點在笛卡爾空間裡是沒有 意義的),因此數學家想出齊次座標這個點子來了。

由 august ferdinand möbius 提出的齊次座標(homogeneous coordinates)讓我們能夠在投影空間裡進行影象和幾何處理,齊次座標用 n + 1個分量來描述 n 維座標。比如,2d 齊次座標是在笛卡爾座標(x, y)的基礎上增加乙個新分量 w,變成(x, y, w),其中笛卡爾座標系中的大x,y 與齊次座標中的小x,y有如下對應關係:

x = x/w

y = y/w 

笛卡爾座標中的點 (1, 2) 在齊次座標中就是 (1, 2, 1) 。如果這點移動到無限遠(∞,∞)處,在齊次座標中就是 (1, 2, 0) ,這樣我們就避免了用沒意義的"∞" 來描述無限遠處的點。

前面提到,我們分別用齊次座標中的 x 和 y 除以 w 就得到笛卡爾座標中的 x 和 x,如圖所示:

仔細觀察下面的轉換例子,可以發現些有趣的東西:

上 圖中,點 (1, 2, 3), (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 對應笛卡爾座標中的同一點 (1/3, 2/3)。 任意數量積的(1a, 2a, 3a) 始終對應於笛卡爾座標中的同一點 (1/3, 2/3)。因此這些點是「齊次」的,因為他們始終對應於笛卡爾座標中的同一點。換句話說,齊次座標描述縮放不變性(scale invariant)。

笛卡爾座標系中,對於如下兩個直線方程:

如果 c ≠ d,以上方程組無解;如果 c = d,那這兩條線就是同一條線了。

下面我們用 x/w, y/w 代替 x, y 放到投影空間裡來求解:

現在我們就可以在 c ≠ d 的情況得到一組解 (x, y, 0),代入得  (c - d)w = 0,因為 c ≠ d,所以 w = 0。因而,兩條平行線相交於投影空間中無限遠處的一點 (x, y, 0)。

齊次座標在計算機圖形學中是有用的,將 3d 場景投影到 2d 平面的過程中就用到它了。

齊次座標的理解

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