POJ 3264 RMQ問題 ST演算法

因為之前都是線段樹解決rmq問題，省腦子……（因為寫的順手）……

但是因為rmq畢竟常數大，而且其實程式還相對st要長…… 以前寫過st演算法，但是因為每次都在糾結到底+1 呢，還是-1呢，邊界問題處理的我蛋都碎了好幾次，這次重新學習了一下st(sparse table)演算法，好好的處理了這些問題的理解。

st演算法：解決rmq問題。 rmq問題：

區間最大值，最小值問題……

時間複雜度：預處理nlogn, 查詢o(1)。預處理和查詢的常數都極小。線段樹雖然是nlogn預處理，但是常數略大，而且查詢是logn的…… 當然了，線段樹還有其他支援的操作，暫且不談。

st演算法侷限性：解決靜態rmq問題。但是！ rmq和字尾陣列聯手，就非常好用了！

正題：（這個字有點太小了？趕緊換大號字）

這麼大的字看起來舒服多了，對於我這近視眼而言。。

這樣的字靠譜點……就這樣好了。

st[i][j] 表示，， r[i] r[i + 1] r[i + 2] .... r[i + 2^j - 1] 這一連串，陣列下標從 i到i + 2^j -1的區間內，最值是多少。（從這裡開始，最值就當最小值了，最大值同理。）

那麼顯然，st[i][0] = r[i]; 因為 r[i] .. r[i + 1] ... r[i + 2^0 - 1] 實質上就是 r[i]到r[i]這個區間……也就是說，初始化st[i][0] = r[i]即可。

下面重點來了， st[i][j] = min( s[i][j - 1] , s[i + 2^(j-1)][j-1]是怎麼來的呢？

我們舉個例子。

當i = 3, j = 3的時候， st[3][3]所表示的區間就是 3 4 5 6 [7 8 9 10]

i = 3, j = 2的時候， st[3][2] 所表示的區間顯然是 3 4 5 6

這個時候我們就可以明顯看出來了，我們需要從7的位置開始也就是需要st[7][2] 所表示的區間 7 8 9 10

那麼st[3][3] = min(st[3][2] , st[7][2]);

這樣的話，構造過程就出來了。

下面的程式就表示，如何構造出最大和最小的兩個情況。

void makermq(int *r, int n)
}

i =1開始窮舉2^i ，

st[0][i] 為 [0] [1] [2] [3] ... [2^i -1] 的區間。如果出現了[2^i -1]所表示的下標，已經達到，甚至超過n的話，顯然就不需要再計算了，

2^i - 1 也就是 (1 << i ) - 1, 他的值必須要比n要小（0為下標起點）。

第二層迴圈

j 作為窮舉的區間起點位置（終點位置是j + 2^i -1），那麼他的終點位置也必須在n以為。所以就是

j + (1 << i) - 1 < n

至於判斷取值的情況……

[j, j + 2^i - 1]整個區間，拆成2個一樣長的區間。

[ j， j + 2^(i - 1) - 1， ] 區間，和[ j + 2^(i - 1), j + 2^i - 1] 兩個區間，後者實質就是st[j + 2^(i - 1)][i - 1];

整個區間最小值，也就是

stmin[j][i] = min(stmin[j][i - 1], stmin[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);

這樣就解決了初始化的問題。時間複雜度nlogn

***************

接下來是如何實現o(1)的查詢。

假如要查詢 3 4 5 6 7 8這個區間的最小值，實際上，我們給他分成兩份

查詢 3 4 5 6 和5 6 7 8 的最小值，兩者取最小就行了。因為只要有交集，並且並集能覆蓋整個區間，那麼他的最小值一定就是他們整個區間的最小值。

下面就是思考如何知道就是從st[3][2]和st[5][2]這2個地方查詢呢？

不管怎麼樣，l + 2^i - 1 (這也就是st[l][i]所表示區間的最右邊) 必須要比r小或者相等…… 區間：l, l + 2 ^i - 1

r - 2^i + 1又一定要比l要大或者相等區間： r - 2^i + 1, r

同時，他們還要有並集！也就是r - 2 ^i + 1 >= l + 2 ^i - 1

綜上：要找出乙個最小的i，滿足

l + 2 ^i - 1 >= r - 2 ^i + 1

化簡後i = log(r - l + 2) / log(2) - 1 的結果向上取整（如果本身是整數，則不動）

這個式子用c語言表示很複雜- -我直接省事用dd

i = int(log(r - l + 2)/log(2) + 0.99999) - 1; 表示，是可以通過測試的……

當然，這個表示方法並不科學，我們沒有利用好很多條件。

還看這個式子：

r - 2 ^i + 1 >= l + 2 ^i - 1

還可以寫成 l + 2^i - 1 > r - 2^i + 1

化簡得 i + 1 > （log(r-l+1) /log(2)）

小於號右邊的式子，是乙個整數，

根據乙個結論：乙個帶小數點的數字，取整+1，一定大於這個數字本身。

這麼看來，i作為右邊那個帶小數點的數字即可。 i = (int) （log(r-l+1) /log(2)）

當然，i = (int)

（log(r-l+1) /log(2)）的寫法，還可以通過其他方式解釋，比如區間長度，但是我感覺思維量略大，我不想多想了

這樣一來，程式就出來了。 flag表示詢問是大還是小

int ask(int l, int r, int flag)

全部程式如下：

#include #include #include #include using namespace std;
const int max_n = 50000 + 10;
int n, questions;
int stmax[max_n][20], stmin[max_n][20];
int a[max_n];
void makermq(int *r, int n)
}int ask(int l, int r, int flag)
int main()
return 0;
}

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