WV 50 母函式詳解

2021-06-28 16:14:14 字數 3134 閱讀 9377

母函式詳解

在數學中,某個序列的母函式(generating function,又稱生成函式)是一種形式冪級數,其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。

母函式可分為很多種,包括普通母函式

、指數母函式

、l級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的乙個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題,因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。

這裡先給出兩句話,不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看:

1.「把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來」2.「母函式的思想很簡單 — 就是把離散數列和冪級數一 一對應起來,把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係,最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. 「

我們首先來看下這個多項式乘法:

由此可以看出:

1.x的係數是a1,a2,…an 的單個組合的全體。

2. x^2的係數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。

………n. x^n的係數是a1,a2,….an的n個組合的全體(只有1個)。

進一步得到:

母函式的定義

對於序列a0,a1,a2,…構造一函式:

稱函式g(x)是序列a0,a1,a2,…的母函式。

這裡先給出2個例子,等會再結合題目分析:

第一種:

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚,能稱出哪幾種重量?每種重量各有幾種可能方案?

考慮用母函式來解決這個問題:

我們假設x表示砝碼,x的指數表示砝碼的重量,這樣:

1個1砝碼可以用函式1+1*x^1表示,

1個2克的砝碼可以用函式1+1*x^2表示,

1個3克的砝碼可以用函式1+1*x^3表示,

1個4克的砝碼可以用函式1+1*x^4表示,克的

上面這四個式子懂嗎?

們拿1+x^2來說,前面已經說過,x表示砝碼,x的指數表示砝碼的重量!初始狀態時,這裡就是乙個質量為2的砝碼。

那麼前面的1表示什麼?按照上面的理解,1其實應該寫為:1*x^0,即1代表重量為0的砝碼數量為1個。

所以這裡1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2,即表示1個0克的砝碼(相當於沒有,只是形象說明)和2克的砝碼,不取或取,不取則為1*x^0,取則為1*x^2

不知道大家理解沒,我們這裡結合前面那句話:

把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來

接著討論上面的1+x^2,這裡x前面的係數有什麼意義?

這裡的係數表示狀態數(方案數)

1+x^2,也就是1*x^0 + 1*x^2,也就是上面說的不取2克砝碼,此時有1種狀態;或者取2克砝碼,此時也有1種狀態。(分析!)

所以,前面說的那句話的意義大家可以理解了吧?

幾種砝碼的組合可以稱重的情況,可以用以上幾個函式的乘積表示:

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

從上面的函式知道:可稱出從1克到10克,係數便是方案數。(!!!經典!!!)

例如右端有2^x^5 項,即稱出5克的方案有2種:5=3+2=4+1;同樣,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案數有2種,稱出10克的方案數有1種 。

接著上面,接下來是第二種情況:

第二種:

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數:

大家把這種情況和第一種比較有何區別?第一種每種是乙個,而這裡每種是無限的。

以展開後的x^4為例,其係數為4,即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數為4;

即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

這裡再引出兩個概念"整數拆分"和"拆分數":

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和(相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子,盒子允許空,也允許放多於乙個球)。

整數拆分成若干整數的和,辦法不一,不同拆分法的總數叫做拆分數

接下來給出第二種無限的情況的乙個模板:

#includeusing namespace std;

#define m 1000

int a[m],b[m];//a[m]中存最終項係數;b[m]中訪問中間變數;

int main()

for(i=2;i<=m;i++)//從第2項式子一直到第n項式子與原來累乘項的和繼續相乘

for(j=0;j<=n;j++)// 然後將中間變數b陣列中的值依次賦給陣列a,然後將陣列b清零,繼續接收乘以下乙個表示式所得的值

}printf("指數為%d的項的係數為:%d\n\n",n,a[n]);

}return 0;

}

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