** tanky woo
母函式（generating function）詳解
前段時間寫了一篇《揹包之01揹包、完全揹包、多重揹包詳解》，看到支援的人很多，我不是大牛，只是乙個和大家一樣學習的人，寫這些文章的目的只是為了一是希望讓大家學的輕鬆，二是讓自己複習起來更方便。
（ps：大家覺得我的文章還過的去就幫我支援下我的個人獨立部落格---tanky woo的程式人生：謝謝）
(以下內容部分引至杭電acm課件和維基百科)
在數學中，某個序列的母函式是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。
母函式可分為很多種，包括普通母函式、指數母函式、l級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的乙個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。
"把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來"
"母函式的思想很簡單—就是把離散數列和冪級數一一對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. "
我們首先來看下這個多項式乘法：
由此可以看出:
1. x的係數是a1,a
2,…a
n的單個組合的全體。
2. x
2的係數是a1,a
2,…a
2的兩個組合的全體。
………n. x
n的係數是a1,a
2,….a
n的n個組合的全體（只有1個）。
由此得到：
母函式的定義：
對於序列a0，a
1，a2，…構造一函式：
稱函式g(x)是序列a0，a
1，a2，…的母函式
這裡先給出2個例子，等會再結合題目分析：
第一種：
有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？
考慮用母函式來接吻這個問題：
我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：
1個1克的砝碼可以用函式1+x表示，
1個2克的砝碼可以用函式1+x
2表示，
1個3克的砝碼可以用函式1+x
3表示，
1個4克的砝碼可以用函式1+x
4表示，
上面這四個式子懂嗎？
我們拿1+x
2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示重量，即這裡就是乙個質量為2的砝碼，那麼前面的1表示什麼？1代表重量為2的砝碼數量為0個。（理解！）
"把組合問題的加法法則和冪級數的t的乘冪的相加對應起來"
1+x2
表示了兩種情況：1表示質量為2的砝碼取0個的情況，x
2表示質量為2的砝碼取1個的情況。
這裡說下各項係數的意義：
在x前面的係數a表示相應質量的砝碼取a個，而1就表示相應砝碼取0個，這裡可不能簡單的認為相應砝碼取0個就該是0*x
2(想下為何？結合數學式子)。
tanky woo 的程式人生
：所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？
幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函式的乘積表示：
(1+x)(1+x
2)(1+x
3)(1+x4)
=(1+x+x2+x
3)(1+x3+x
4+x7)
=1+x+x
2+2x
3+2x
4+2x
5+2x
6+2x7+x
8+x9+x
10
從上面的函式知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）
例如右端有2x5 項，即稱出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故稱出6克的方案有2，稱出10克的方案有1 。
接著上面，接下來是第二種情況：
求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：
大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是乙個，而這裡每種是無限的。
以展開後的x4為例，其係數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分數為4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
這裡再引出兩個概念整數拆分和拆分數：
所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於乙個球）。
整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。
現在以上面的第二種情況每種種類個數無限為例，給出模板：
**#include
usingnamespace std;
constint _max = 10001;//
c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目
//c2是中間量，儲存每一次的情況
intc1[_max], c2[_max];
intmain()
for(i=2; i<=nnum; ++i) //
----- ②
//第i個表示式
for(j=0; j<=nnum; ++j) //
---- ⑤
}cout
<< c1[nnum] <
}return0;
}
母函式詳解
母函式詳解 在數學中，某個序列的母函式 generating function，又稱生成函式 是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。母函式可分為很多種，包括普通母函式 指數母函式 l級數 貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每...
WV 50 母函式詳解
母函式詳解 在數學中，某個序列的母函式 generating function，又稱生成函式 是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。母函式可分為很多種，包括普通母函式 指數母函式 l級數 貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每...
母函式詳解（轉 侵刪）
母函式與排列組合 在談論母函式問題之前，我們先看乙個簡單的問題描述 假如有兩組資料 a,b 和 c,d 每組中選出乙個構成乙個組合，總共有幾種選法？很顯然總共有4種選法 ac,ad,bc,bd。而且很容易聯想到這個式子 a b c d a c a d b c b d。式子中的幾個乘積項就是上面的4種...