生成函式母函式

根據定義，這個序列作為函式的係數，稱g(x)就是序列的母函式。和一般意義上的函式相比，母函式的功能是計數。

有這樣一道例題：

到這一章為止，已知的計數法則就兩種，加法法則（或）和乘法法則（且）。前者是分類思想，後者是分步。

法1:分步來看，第乙個骰子有1-5種可能，因為兩個骰子之和是6，所以一旦第乙個骰子確定了，第二個骰子也就隨之確定。第乙個骰子的每一種可能性都僅對應第二個骰子的唯一確定的點數。因此5*1=5種。

法2:分類來看，有可能是1+5=5+1或2+4=4+2或3+3=3+3，累加起來，一共五種可能。

當然這個是最最簡單的例子，也很容易想，但如果骰子有很多呢？

這種情況下，挨個挨個地列舉顯然是愚蠢的。而伯努利在300年前已經研究過這個問題了，是關於「投擲m粒骰子時，點數總和為n的可能方案數」，這個問題乍看之下很複雜，令人懷疑人生。

那麼先從簡單情形考慮，兩個骰子擲出n點，有多少種可能。這相當於把n拆分成兩個數的和，這時候對n列舉就很複雜，所以對兩個骰子列舉。第乙個骰子，6種可能，相互之間是「或」的關係，對應的是加法，但是不能直接相加，因為這無法反映兩個骰子的疊加過程。

我們需要逐個分析乙個骰子的不同情況，對於乙個骰子，假如擲出2個點，就可以看作乙個分步策略，相當於——先擲乙個點，再擲乙個點，所以是(●)^2，當然這樣不習慣，於是用x2來表示。那四個點是x4,因此可以用指數對應點數。

這樣就可以用（x+x2+…+x6）表示乙個骰子的投擲過程，對於第二個骰子也是這樣，最後兩式相乘，x6前面的係數就是有多少種出現6點的方案。

最後的母函式求出來是

那麼回溯到最初伯努利提出的問題，m粒骰子就是m個多項式累乘

而要求點數總和為n的可能方案數，也就是求展開式中xn的係數。這可以看出來，對於這個多項式，我們並不關心它的值，現在關心的卻是它的係數了。（所以母函式確實是一位母親，計數序列作為係數就是她的孩子233）

所以母函式的定義我們可以進一步提煉出兩點

而這個定義是拉普拉斯在研究概率的時候，研究了母函式的方法和相關定義。（2023年拉普拉斯在著作《概率的分析理論》第一卷中系統地研究了母函式的方法和有關理論）

最後總結一下，母函式實際上是用來做什麼的，以及它和函式有什麼區別。

對於母函式

雖然形式上是函式，但「似函式，非函式」。

那——為什麼要引入乙個母函式呢？因為在現實世界裡，對於各種複雜的事件，我們要通過「對映」的方式將其簡化，比如說對於分數冪的運算十分困難，我們用乙個對數對映將其簡化，再求原問題的解，就相對容易了。

在母函式中同樣如此，在一開始思考的骰子問題裡，直接計算是十分困難的，後來發現通過分步來考慮的時候，把多項式引入，求出相應係數後再對應回來，就得到了解。

那麼是什麼原因使得母函式具備了計數的法則呢，在骰子那道題中，通過求係數來對應方案數是乙個例子。分析一下，對於一般的多項式，可以寫成

這種形式，展開後的某個冪次的係數可以分為兩部分，分別來自於兩個括號裡的某一項，這實際上就是對應的乘法法則

所以實質上是多項式的乘法運算使母函式具有了計數能力。

「母函式就是一列用來展示一串數字序列的掛衣架」

——赫伯特·維爾夫

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