普通型生成函式
首先我們有乙個序列\(a=\\)
我們嘗試用函式\(f(x)=\sum_^na_ix^i\)來表示\(a\)
這就得到了母函式
如果當\(n\rightarrow \infty\)時，\(f(x)=\sum_^\infty a_ix^i\) ,這就可以表示無限長的序列了
所以這東西有個**用啊？
別忙，繼續往下看...
我們可以由定義得到,序列\(\\)的母函式為\(\sum_^\infty x^i\)
但是由小奧的知識可以知道\(\sum_^nx^i=\frac}\)
這裡我們就蒙了，\(x>1\)時\(x^\rightarrow \infty\)
__但是，__我們可以知道當\(x\in (0,1)\)時\(x^\)隨\(n\rightarrow \infty\)收斂
所以\(\lim\limits_\sum_^\infty x^i=\frac\)
至於為什麼我們這裡不用考慮\(x>1\)的情況，那是因為母函式為形式冪函式，這貨的點值沒有卵用，是誰都無所謂了，只要好表示就行，無需關心收斂半徑，我們只關心它的係數ntr?
這樣我們就得到了該函式的閉形式\(\frac\),有了閉形式之後，我們就可以對乙個序列的母函式進行各種運算，得到該函式的通項公式或其他性質
來看些例題
\(e1:\\)
\[f(x)=\sum_^\infty x^\\
=\sum_^\infty (x^2)^i\\
=\frac
\]
\(e2:\)
\[f(x)=\sum_^\infty (i+1)x^i\\
=\sum_^\infty(x^)'\\
=(\frac)'\\
=x(\frac)'+\frac\\
=\frac\\
=\frac\\
ps:(uv)'=u'v+uv'
\]
\(e3:\)指數型生成函式塊速遞推
對於序列\(a=\\)
我們定義\(f(x)=\sum_^n\fracx^i\)為\(a\)的生成函式
同樣從\(\\)開始,易得\(f(x)=\sum_^\infty \frac=exp(x)\)
關於最後一步怎麼來的，詳見泰勒展開
\(e1:\hat=\\)
\[f(x)=\sum_^\infty \fracx^i\\
=\sum_^\infty x^i\\
=\frac
\]
\(e2: \hat=\\)
\[f(x)=\sum_^\infty \fracx^i\\
=\sum_^\infty \frac\\
=\sum_^\infty\int x^idx\\
=\int \sum_^\infty x^i dx\\
=\int \frac\\
\text\\
f(x)=\int \frac\\
=\int \frac\\
=-\ln t\\
=-\ln(1-x)\\
=\ln\frac
\]
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