p.s. 本文是菜雞筆者整理知識點以及做書上例題搞的 可能偏雞肋/easy，謹慎食用）
例題：（《組合數學》習題二）
1.求不包含連續\(0\)的\(01\)序列個數。
設\(f_n\)表示長度為\(n\)的滿足題意的序列個數。則\(f_n=f_+f_.\)
解析：考慮往合法序列末尾能加的數，只有兩種：\(1,10.\)所以分別對應\(f_,f_.\)如果加\(01,\)相當於對\(f_n\)後面加\(1,\)所以沒有遺漏。
2.問由\(x,y,z,u\)組成的字串且滿足\(u\)的個數為偶數的長度為\(n\)的字串有多少個。
設\(f(x)\)為答案的指數型生成函式，對於\(x,y,z\)來講，它們的生成函式都是\(e^x,\)對於\(u\)來說，它的生成函式是\(\frac+e^}\)
所以：\[f(x)=e^\cdot \frac+e^}=\frac+e^}
\]展開一下就是:
\[f(x)=\sum_^\infty (2^+2^)x^i\cdot \frac
\]故而\(f_n=2^+2^.\)
這裡注意一點：普通型生成函式求的是 多重組合數 ，而指數型生成函式求的是 多重排列數。也就是說，指數型生成函式把同一種元素不同選法的差異給去除了。
關於多重排列數與多重組合數：
觀察到上述例2中，\(f_n=n![x^n]f(x),\)這裡就是「指數型生成函式求的是多重排列數」的意義所在，對於一種「組合」，把它化為排列需要乘以乙個\(n!.\)
例題2考慮的並不只是選法，它還考察了對於一種字母搭配，它有多少種排列，這就是這題選擇指數型生成函式的原因。
3.給定方程\(\sum_ ^4 x_i =r,x_1\in [0,4],x_2\in \left\,x_3,x_4 \in even<10\)
顯然它們的生成函式是\(f(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4)\cdot (x+x^3+x^5+x^7)\cdot (x^2+x^4+x^6+x^8)^2.\)
知識點穿插：
對於形如\(1-x^n\)的展開式，把它看成\((1-x)\cdot (1+x+...+x^),\)後者用等比數列求和知道它就是\(\frac.\)
所以上面式子可以重新寫成:
\[f(x)=\frac\cdot \frac\cdot x\cdot (\frac})^2
\]
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