約瑟夫環數學解法

約瑟夫環是乙個數學的應用問題：已知n個人（以編號1，2，3…n分別表示）圍坐在一張圓桌周圍；從編號為k的人開始報數，數到m的那個人出列；他的下乙個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；依此規律重複下去，直到圓桌周圍的人全部出列。

f[1]=0;　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

#includeusing namespace std;
int fun(int n, int m)
void main()

#include int josephus(int n, int m) 
else 
}int main() 
scanf("%d", &m);
int result = josephus(n, m);
printf("%d\n", result+1);
} return 0;
}

公式1的推導：——————————

給出乙個序列，從0～n-1編號。其中，k代表出列的序號的下乙個，即k-1出列。

a0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1

那麼，出列的序號是(m-1)%n，k=m%n（這個可真的是顯而易見）。出列k-1後，序列變為

b0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1

然後，我們繼續從n-1後延長這個序列，可以得到

c`0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

我們取從k開始直到n+k-2這段序列。其實這段序列可以看作將序列b的0~k-2段移到了b序列的後面。這樣，得到乙個新的序列

ck, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

好了，整個序列c都減除乙個k，得到

d0, 1, …, n-2

c序列中的n-1, n, n+1都減除個k是什麼？這個不需要關心，反正c序列是連續的，我們知道了頭和尾，就能知道d序列是什麼樣的。

這樣你看，從序列a到序列d，就是乙個n序列到n-1序列的變化，約瑟夫環可以通過遞推來獲得最終結果。ok，繼續向下。

剩下的就是根據n-1序列遞推到n序列。假設在n-1序列中，也就是序列d中，我們知道了最終剩下的乙個序號是x，那麼如果知道了x轉換到序列a中的編號x`，不就是知道了最終的結果了麼？

下面我們就開始推導出序列a中x的序號是什麼。

d->c，這個變換很容易，就是x+k；

c->b，這個變換是網上大家都一帶而過的，也是令我鬱悶的乙個關鍵點。從b->c，其實就是0~k-2這段序列轉換為n~n+k-2這段序列，那麼再翻轉回去，簡單的就是%n，即(x+k)%n。%n以後，k~n-1這段序列值不會發生變化，而n~n+k-2這段序列則變成了0～k-2；這兩段序列合起來，就是序列b。

於是乎，我們就知道了，x`=(x+k)%n。並且，k=m%n，所以x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n。公式1就出來了：f[i]=(f[i-1]+m)%i。當然，i=1就是特殊情況了，f[1]=0。這裡還有乙個小問題。也許你會迷惑為什麼x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n中的%n變成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i？其實這個稍微想想就能明了。我們%n就是為了從序列c轉換到序列b——這是在n-1序列轉換成n序列時%n；那麼從n-2轉換到n-1呢？不是要%(n-1)了嗎？所以這個值是變數，不是常量。

好了，這個最後需要注意的就是從一開始，我們將n序列從0～n-1編號，所以依據公式1得出的序號是基於0開始的。

約瑟夫環數學解法

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約瑟夫環的數學解法

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約瑟夫環 數學解法

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約瑟夫環的數學解法

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