優先佇列之二項堆

從以上定義，不難得到下面的結論：

二項堆由一組二項樹所構成，這裡的二項樹需要滿足下列條件：

1）h中的每個二項樹遵循最小堆的性質。

2）對於任意非負整數k，在h中至多有一棵二項樹的根具有度數k。

對於性質2，任意高度最多有一棵二項樹，這樣就可以用二項樹的集合唯一地表示任意大小的二項堆，比如13個結點的二項堆h，13的二進位制表示為（1101），故h包含了最小堆有序二項樹b3， b2和b0，他們分別有8， 4， 2， 1個結點，即共有13個結點。如下圖（另外：二項堆中各二項樹的根被組織成乙個鍊錶，稱之為根表）

}由於每乙個二項樹都滿足最小堆的性質，所以每個二項樹的最小關鍵字一定在根結點，故只需遍歷比較根表的情況就可以。

binheap findbinheapmin(binheap heap)
}return min_node;
}

合併兩個二項堆有三個函式：

binomial-pair，連線操作，即將兩棵根節點度數相同的二項樹bk-1連線成一棵bk。 binomial-heap-merge ，將h1和h2的根表合併成乙個按度數的單調遞增次序排列的鍊錶。 binomial-heap-union，反覆連線根節點的度數相同的各二項樹。

合併操作分為兩個階段：

第一階段：執行binomial-heap-merge，將兩個堆h1和h2的根表合併成乙個鍊錶h，它按度數排序成單調遞增次序。merge的時間複雜度o(logn)。n為h1和h2的結點總數。（對於每乙個度數值，可能有兩個根與其對應，所以第二階段要把這些相同的根連起來）。

第二階段：將相等度數的根連線起來，直到每個度數至多有乙個根時為止。執行過程中，合併的堆h的根表中至多出現三個根具有相同的度數。（merge後h中至多出現兩個根具有相同的度數，但是將兩個相同度數的根的二項樹連線後，可能與後面的至多兩棵二項樹出現相同的度數的根，因此至多出現三個根具有相同的度數）

第二階段根據當前遍歷到的根表中的結點x，分四種情況考慮:

case1：degree[x] != degree[sibling[x]]。此時，不需要做任何變化，將指標向根表後移動即可。(下圖示a)
case2：degree[x] == degree[sibling[x]] == degree[sibling[sibling[x]]]。此時，仍不做變化，將指標後移。(下圖示b)
case3 & case4：degree[x] = degree[sibling[x]] != degree[sibling[sibling[x]]] (下圖示c和d)
case3：key[x] <= key[sibling[x]]。此時，將sibling[x]連線到x上。
case4：key[x] > key[sibling[x]]。此時，將x連線到sibling[x]上。

複雜度：o(logn)，四個過程變化情況：

//********************===兩個二項佇列的連線*************************===
binheap binheapunion(binheap h1, binheap h2)
//case 3、4：相鄰2個相等,和第3個不等
else
//case 4: 將x連到x_next
else
}//case 3&4
x_next = x->sibling;
}//while
return heap;
}//將2個二項佇列合併成度數單調遞增的乙個二項佇列
binheap binheapmerge(binheap h1, binheap h2)
else
if(h3_prev ==
null)
else
}//while
if(h1 ==
null)
h3_prev->sibling = h2;
else
if(h2 ==
null)
h3_prev->sibling = h1;
}if(h1 ==
null)
if(h2 ==
null)
return heap;
}//連線2個度數k相同的二項樹成度數為k+1的一棵樹,將h1 連線到 h2上

先建立只有該結點的二項堆，然後在與原來的二項堆合併。

//用陣列元素建立二項佇列
binheap creatheapwitharray(item a, int n)
memset(newheap, 0, sizeof(*newheap));
newheap->key = a[i];
if(heap == null)
heap = newheap;
else
}return heap;
}

從根表中找到最小關鍵字的結點，將以該結點為根的整棵二項樹從堆取出，刪除取出的二項樹的根，將其剩下的子女倒序排列，組成了乙個新的二項堆，再與之前的二項堆合併。

binheap binheapdelmin(binheap h1)
p = p->sibling;
}binheap heap = h1;
if(h1 ==
min)
heap =
min->sibling;
else
min_prev->sibling =
min->sibling;
binheap x_prev =
null, x =
null; //
binheap h2 =
null;
p =null;
x =min->leftchild;
while (x !=
null)
heap = binheapunion(heap, h2);
return
min;
}

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