約瑟夫問題約瑟夫環

約瑟夫

問題（有時也稱為約瑟夫斯置換，是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中，類似問題又稱為約瑟夫環。又稱「丟手絹問題」.）

據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事：在羅馬人占領喬塔帕特後，39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到，於是決定了乙個自殺方式，41個人排成乙個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下乙個重新報數，直到所有人都自殺身亡為止。然而josephus 和他的朋友並不想遵從。首先從乙個人開始，越過k-2個人（因為第乙個人已經被越過），並殺掉第

k個人。接著，再越過k-1個人，並殺掉第

k個人。這個過程沿著圓圈一直進行，直到最終只剩下乙個人留下，這個人就可以繼續活著。問題是，給定了和，一開始要站在什麼地方才能避免被處決？josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。

[1]17世紀的法國數學家加斯帕在《數目的遊戲問題》中講了這樣乙個故事：15個教徒和15 個非教徒在深海上遇險，必須將一半的人投入海中，其餘的人才能倖免於難，於是想了乙個辦法：30個人圍成一圓圈，從第乙個人開始依次報數，每數到第九個人就將他扔入大海，如此迴圈進行直到僅餘15個人為止。問怎樣排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

*問題分析與演算法設計

約瑟夫問題並不難，但求解的方法很多；題目的變化形式也很多。這裡給出一種實現方法。

題目中30個人圍成一圈，因而啟發我們用乙個迴圈的鏈來表示，可以使用結構

陣列來構成乙個迴圈鏈。結構中有兩個成員，其一為指向下乙個人的指標，以構成環形的鏈；其二為該人是否被扔下海的標記，為1表示還在船上。從第乙個人開始對還未扔下海的人進行計數，每數到9時，將結構中的標記改為0，表示該人已被扔下海了。這樣迴圈計數直到有15個人被扔下海為止。

約瑟夫問題是個有名的問題：n個人圍成一圈，從第乙個開始報數，第m個將被殺掉，最後剩下乙個，其餘人都將被殺掉。例如n=6，m=5，被殺掉的順序是：5，4，6，2，3，1。

用鍊錶環表示：首先構造鍊錶環，之後刪除第m個元素，往後繼續數。用shoot表示1~m的迴圈。

int josephus1(int n,int m)
listnode *head=creat(n);
int shoot=1;
listnode *p=head,*s=p;
while(length(p)>1)
else
}cout
} listnode *creat(int n)
head=head->next;
p->next=head;
return head;
} listnode *remove(listnode *head,int val)
if (p->val==val)
}int length(listnode* head)
return length+1;
}

用c++，list容器模擬環，其中沒有next。用迭代器++實現，**如下：

int josephus2(int n,int m)
listli;
for (int i=1;i<=n;i++)
list::iterator iter=li.begin();
while (li.size()>1)
--iter;
cout<";
li.erase(iter);
iter=next;
} cout<
為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1）），從0開始報數，報到（m-1）的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第乙個人（編號一定是（m-1） mod n) 出列之後，剩下的n-1個人組成了乙個新的
約瑟夫環（以編號為k=m mod n的人開始）：
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
並且從k開始報0。
我們把他們的編號做一下轉換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
......
k-2 --> n-2
變換後就完完全全成為了（n-1）個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k) mod n
如何知道（n-1）個人報數的問題的解？對，只要知道（n-2）個人的解就行了。（n-2）個人的解呢？當然是先求（n-3）的情況 ---- 這顯然就是乙個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫
遞推公式：
令f表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1）
有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1
由於是逐級遞推，不需要儲存每個f，程式也是異常簡單：
**如下：
int josephus(int n,int m)
int f=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
return f+1;
}

此方法時間複雜度為o（n）,空間複雜度為o（1）。缺點是無法實現過程輸出，只能求得最後乙個元素的值。

完整**如下;

其中 int josephus2(int n,int m)和 int josephus3(int n,int m)是利用list容器實現的兩種思想相同，不同操作的**。

#include #include #includeusing namespace std;
struct listnode
; int josephus(int n,int m);
int josephus1(int n,int m);
listnode *creat(int n);
listnode *remove(listnode *head,int val);
int length(listnode* head);
int josephus2(int n,int m);
int josephus3(int n,int m);
void main()
else
}cout
} listnode *creat(int n)
head=head->next;
p->next=head;
return head;
} listnode *remove(listnode *head,int val)
if (p->val==val)
}int length(listnode* head)
return length+1;
} int josephus2(int n,int m)
listli;
for (int i=1;i<=n;i++)
list::iterator iter=li.begin();
while (li.size()>1)
--iter;
cout<";
li.erase(iter);
iter=next;
} cout<
for (int i=1;i<=n;i++)
int shoot=1;
list::iterator next=li.begin();
int last=0;
list::iterator iter=li.begin();
for (iter=li.begin();li.size()>1;)
--iter;
last=*iter; 
cout
li.erase(iter);
iter=next;
shoot=1;
}else
}} last=*iter; 
cout<

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