格仔路徑問題

在乙個n*n矩陣的左上角坐著乙個機械人，它只能向右運動或向下運動。那麼，機械人運動到右下角一共有多少種可能的路徑？

進一步地，

如果對於其中的一些格仔，機械人是不能踏上去的。設計一種演算法來獲得所有可能的路徑。

不妨將這個問題再泛化一下，想象這個矩陣是m*n的，左上角的格仔是(1, 1)，右下角的座標是(m, n)。那麼其遞迴就應該是：

path(i, j) = path(i-1, j) + path(i, j-1)

其遞迴終止條件指的是i=1，j=1，所以我們可以寫出這樣一段

typedef
long
long ll;
ll path(ll m, ll n)

如果用純數學的方法來解這道題目，大概也就是個高中排列組合簡單題吧。機械人從(1, 1)走到(m, n)一定要向下走m-1次，向右走n-1次，不管這過程中是怎麼走的。因此，一共可能的路徑數量就是從總的步數(m-1+n-1)裡取出(m-1)步，作為向下走的步子，剩餘的(n-1)步作為向右走的步子。

ll fact(ll n)
ll path1(ll m, ll n)

對於第二問，如果有一些格仔，機械人是不能踏上去的(比如說放了地雷xd)，那麼，我們如何輸出它所有可能的路徑呢？

讓我們先來考慮簡單一點的問題，如果我們只要輸出它其中一條可行的路徑即可，那麼我們可以從終點(m, n)開始回溯，遇到可走的格仔就入棧，如果沒有格仔能到達當前格仔，當前格仔則出棧。最後到達(1, 1)時，棧中正好儲存了一條可行路徑。**如下：