單源點最短路徑問題 Dijkstra演算法

如圖所示。設v0是起始點，求v0到其它各結點的最短路徑。

設visited是已經生成了最短路徑的結點集合(包括v0)，對於當前不在visited中的結點w，記dist(w)是從v0開始，只經過visited中的結點而在w結束的那條最短路徑的長度；

(1) 如果下一條最短路徑是到結點u，則這條路徑是從結點v0出發在u處終止，且只經過那些在visited中的結點,即由v0至u的這條最短路徑上的所有中間結點都是visited中的結點:設w是這條路徑上的任意中間結點，則從v0到u的路徑也包含了一條從v0到w的路徑，且其長度小於從v0到u的路徑長度，如下圖：

(2) 所生成的下一條路徑的終點u必定是所有不在visited內的結點中且具有最小距離dist(u)的結點。

(3) 如果選出了這樣結點u並生成了從v0到u的最短路徑之後，結點u將成為visited中的乙個成員。此時，那些從v0出發，只經過visited中的結點並且在visited外的結點w處結束的最短路徑可能會減少——dist(w)的值變小：如果這樣的路徑的長度發生了改變，則這些路徑必定是一條從v0開始，經過u然後到w的更短的路所致，概念如下圖：

因此整個演算法的流程為：

假設存在graph=，源頂點為v0，visited=,dist[vi]記錄v0到vi的最短距離，path[vi]記錄從v0到vi最短路徑上，vi之前的乙個頂點。

1.從(v-visited)中,即未加入的u的集合中選擇使dist[vi]值最小的頂點vi，將vi加入到visited中；

2.更新與i直接相鄰頂點的dist值。(dist[j]=min)

3.直到說visited=v，停止。

#include #include #include #include using namespace std;
#define max int_max; 
int **graph;//n個頂點的有向圖,包含e條邊
int n;
int e;
//讀入資料
void input();
//g為有向圖
//dist為v0到各點最短路徑長度
//path為記錄的從v0到某點的最短路徑
void dijkstra(int **g, int nsize, int *dist, int *path, int v0);
//從v0到vi的路徑
void showpath(int* path, int* dist, int v0, int vi);
int main()
*/ int *dist = new int[n]; //距離陣列
int *path = new int[n]; //路徑陣列
int v0;
cin >> v0;
dijkstra(graph, n, dist, path, v0-1); //從1開始計數就減1，否則去掉
cout << "start " << "end " << "length " << "nodes list " << endl;
for (int i = 0; i < n; i++) }
delete dist;
delete path;
delete graph;
return 0;
}void input()
} //讀入資料
for (int i = 0; i < e; i++) }
void dijkstra(int **g, int nsize, int *dist, int *path, int v0)
else //不與v0相鄰的，設定權重為無窮大
visited[i] = false; //將所有節點置為未訪問過
dist[v0] = 0;
path[v0] = v0;
} visited[v0] = true; //將v0加入到集合中
for (int i = 1; i < nsize; i++) //將剩餘節點(從1到n-1)依次加入到集合visited中
}visited[u] = true;
for (int j = 0; j < nsize; j++) //每加入乙個點就更新dist
} }}
void showpath(int* path, int* dist,int v0, int vi)
s.push(vi);
cout << dist[vi] << ' '; //distance
while (!s.empty())
cout << endl;
}

測試資料為：

7 12 1 2 20 1 3 50 1 4 30 2 3 25 2 6 70 3 5 25 3 6 50 4 3 40 4 5 55 5 6 10 5 7 70 6 7 50

測試結果為：

單源點最短路徑問題 Dijkstra演算法

單源點最短路徑

單源點最短路徑

最短路徑問題（單源點和多源點）

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