顯然，如果n=m+1，那麼由於一次最多只能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則：如果n=(m+1)r+s，（r為任意自然數，s≤m),那麼先取者要拿走s個物品，如果後取者拿走k(≤m)個，那麼先取者再拿走m+1-k個，結果剩下(m+1)(r-1)個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下(m+1)的倍數，就能最後獲勝。
對於巴什博弈，那麼我們規定，如果最後取光者輸，那麼又會如何呢？ （n-1）%（m+1）==0則後手勝利
有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況下是頗為複雜的。我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
1.任何自然數都包含在乙個且僅有乙個奇異局勢中。
2.任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。
3.採用適當的方法，可以將非奇異局勢變為奇異局勢
假設面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變為了奇異局勢（0，0）；如果a = ak ，b > bk 那麼，取走b - bk個物體，即變為奇異局勢；如果 a = ak ， b < bk 則同時從兩堆中拿走a-a[b-a] 個物體變為奇異局勢（ a[b-a], b-a+a[b-a]）；如果a > ak ，b= ak + k 則從第一堆中拿走多餘的數量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k）從第二堆裡面拿走 b - bj 即可；第二種，a=bj （j < k）從第二堆裡面拿走 b - aj 即可。
兩個人如果都採用正確操作，那麼面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則後拿者取勝。那麼任給乙個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...n 方括號表示取整函式)
給你乙個局面，讓你求是先手輸贏。有了上面的分析，那麼這個問題應該不難解決。首先求出差值，差值 * 1.618 == 最小值 的話後手贏，否則先手贏。（注意這裡的1.618最好是用上面式子計算出來的，否則精度要求高的題目會錯）
有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況最有意思，它與二進位制有密切關係，我們用（a，b，c）表示某種局勢，首先（0，0，0）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是（0，n，n），只要與對手拿走一樣多的物品，最後都將導致（0，0，0）。仔細分析一下，（1，2，3）也是奇異局勢，無論對手如何拿，接下來都可以變為（0，n，n）的情形。
任何奇異局勢（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。(+)為異或操作
博弈遊戲彙總
1 巴什博弈 一堆石子，有n個，兩個人輪流取，每次至少取1個，至多取m個，拿走最後乙個石子的人獲勝 假設一堆石子有 n m 1 由於一次只能取m個，無論先手取多少個，後手總能拿走剩餘的，這時一定是先手負 於是找到取勝規則 一對石子 n m 1 r s 對於先手應該先取走s個，設後手取走k個，先手再取...
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