當前執行者想贏。這個是必要的，有時候題目中判別勝負的條件會與平時練習的恰好相反，此時你就應該按照題目要求思考，即在經典模型中思考當前執行者想輸的策略。
定義p-position和n-position，其中p代表previous，n代表next。直觀的說，上一次move的人有必勝策略的局面是p-position，也就是「後手可保證必勝」或者「先手必敗」，現在輪到move的人有必勝策略的局面是n-position，也就是「先手可保證必勝」。更嚴謹的定義是：
1.無法進行任何移動的局面（也就是terminal position）是p-position；
2.可以移動到p-position的局面是n-position；
3.所有移動都導致n-position的局面是p-position；我們在下文中稱之為必勝點和必敗點。
定義：只有一堆石子，兩人輪流取，最少取乙個，最多取m個，最後取完者為勝。
思考：
①當石子個數n=0時為必敗點；（根據題意得來）
②當石子個數0定義：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。poj1067
思考：把兩堆石子的集合寫為（a，b）不失一般性令我們只考慮a<=b的情況;
數學家已經給出了我們a的通項公式（如要了解推導過程可自行查閱資料，這裡不作為重點討論），即ai=[i（1+√5）/2]（方括表示下取整），bi=ai+i。*
定義：有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
思考：當只剩下一堆石子時，顯然先手可以一次取完石子取得勝利，此為必勝點。當剩下兩堆石子時，假如石子不相同，當前執行者一定可以取若干石子使得兩堆相同（n，n），然後只要每次取石子數與對手相同（n-x，n-x），最後肯定會取完石子（0，0），所以（n，n）是必敗點。當只有兩堆石子時，站在對手的角度考慮，會發現當且僅當石子數相同才會是必敗點。當三堆都有的時候情況有點複雜，（1，1，）（2，2，）……顯然為必勝點，還有（1，2，3）是必敗點，因為這個點只能到達前面所提到的必勝點。順著這個思路，我們可以推出最小的必敗點是（1，4，5）和（2，4，6），分析以上情況。假設有乙個函式，設為sg（a1，a2，a3），這個函式的值就是這個點的勝負狀態這裡標記為1（必勝點）和0（必敗點），假如這個點是必勝點，設sg（a1，a2，a3）=0，那麼它肯定只能到達必勝點，也就是減少任何一堆石子數量的值，假設減少a3為a3』，他的函式值sg（a1，a2，a3』）應該一定為1；當sg（a1，a2，a3）=1時，一定存在某一堆減少數量假設也是改變a3』，就可以使sg（a1，a2，a3』）=0；還需滿足一點就是sg（0，0，0）=0；根據上面的條件，我們或許想不出sg（a1，a2，a3）這個函式的表示式，當然數學家們如何想出的，我們不得而知，我們可以做的只有驚嘆！接下來我們欣賞這個完美的結論吧，它已經推廣到了n堆石子的情況。
對於乙個nim遊戲的局面（a1，a2，…，an），它是p-position當且僅當a1^a2^…^an=0，其中^表示異或（xor）運算。神奇吧，很難想像怎麼和異或扯上關係的，然而他的證明也並不複雜，在沒有發現之前是很難想得出來的，這個的過程一定不缺乏深度思維的碰撞和靈感的火花。接下來我們就對他進行證明：
1、最後的狀態，全為零，顯然成立；
2、對於某個局面（a1，a2，…，an），若a1^a2^…^an<>0，一定存在某個合法的移動，將ai改變成ai』後滿足a1^a2^…^ai』^…^an=0。不妨設a1^a2^…^an=k，則一定存在某個ai，它的二進位制表示在k的最高位上是1（否則k的最高位那個1是怎麼得到的）。這時ai^k3、對於某個局面（a1，a2，…，an），若a1^a2^…^an=0，一定不存在某個合法的移動，將ai改變成ai』後滿足a1^a2^…^ai』^…^an=0。因為異或運算滿足消去率，由a1^a2^…^an=a1^a2^…^ai』^…^an可以得到ai=ai』。所以將ai改變成ai』不是乙個合法的移動。證畢。
通俗的說，如果異或的結果為0，那麼改變任何乙個數，顯然結果肯定不能為0了，如果結果不為0，改變某個特定乙個數，可以使結果等於0，而異或運算恰好就滿足這個條件。因而成就了這個不可思議的定理。
有一堆個數為n(n>=2)的石子，遊戲雙方輪流取石子，規則如下：
1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1顆；
2)之後每次可以取的石子數至少為1，至多為對手剛取的石子數的2倍。
約定取走最後乙個石子的人為贏家，求必敗態。
結論：當n為fibonacci數的時候，必敗。
這個問題是尼姆博弈的拓展：遊戲開始時有許多硬幣任意分布在樓梯上，共n階樓梯從地面由下向上編號為0到n。遊戲者在每次操作時
可以將樓梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少乙個硬幣移動到樓梯j-1上。遊戲者輪流操作，將最後一枚硬幣移至地上（0號）的人獲勝。
演算法：將奇數樓層的狀態異或，和為0則先手必敗，否則先手必勝。證明略。
例題：poj1704
這道題可以把兩個棋子中間間隔的空格子個數作為一堆石子，則原題轉化為每次可以把左邊的一堆石子移到相鄰的右邊的一堆中。也就
是階梯尼姆博弈，注意對輸入資料先排序，然後倒著往前數（a[n]-a[n-1]-1為第乙個），奇數個數到的就做一下xor，其中最前面的看
做a[1]-0-1
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