非對稱加密技術 RSA演算法數學原理分析

2021-09-13 19:14:02 字數 2741 閱讀 1301

非對稱加密技術,在現在網路中,有非常廣泛應用。加密技術更是數字貨幣的基礎。

所謂非對稱,就是指該演算法需要一對金鑰,使用其中乙個(公鑰)加密,則需要用另乙個(私鑰)才能解密。

但是對於其原理大部分同學應該都是一知半解,今天就來分析下經典的非對稱加密演算法 - rsa演算法。

通過本文的分析,可以更好的理解非對稱加密原理,可以讓我們更好的使用非對稱加密技術。

題外話:

本部落格一直有打算寫一系列文章通俗的密碼學,昨天給站點上https, 因其中使用了rsa演算法,就查了一下,發現現在網上介紹rsa演算法的文章都寫的太難理解了,反正也準備寫密碼學,就先寫rsa演算法吧,下面開始正文。

rsa演算法的基於這樣的數學事實:兩個大質數相乘得到的大數難以被因式分解。

如:有很大質數p跟q,很容易算出n,使得 n = p * q,

但給出n, 比較難找p q(沒有很好的方式, 只有不停的嘗試)

這其實也是單向函式的概念
下面來看看數學演算過程

1、 選取兩個大質數p,q,計算n = p q 及 φ ( n ) = φ (p) φ (q) = (p-1) * (q-1)

三個數學概念:

質數(prime numbe):又稱素數,為在大於1的自然數中,除了1和它本身以外不再有其他因數。

互質關係:如果兩個正整數,除了1以外,沒有其他公因子,我們就稱這兩個數是互質關係(coprime)。

φ(n):叫做尤拉函式,是指任意給定正整數n,在小於等於n的正整數之中,有多少個與n構成互質關係。

如果n是質數,則 φ(n)=n-1。

如果n可以分解成兩個互質的整數之積, φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)。即積的尤拉函式等於各個因子的尤拉函式之積。

2、選擇乙個大於1 小於φ(n)的數e,使得 e 和 φ(n)互質

e其實是1和φ(n)之前的乙個質數
3、 計算d,使得de=1 mod φ(n) 等價於方程式 ed-1 = k φ(n) 求一組解。

d 稱為e的模反元素,e 和 φ(n)互質就肯定存在d。

模反元素是指如果兩個正整數a和n互質,那麼一定可以找到整數b,使得ab被n除的餘數是1,則b稱為a的模反元素。

可根據尤拉定理證明模反元素存在,尤拉定理是指若n,a互質,則:

a^φ(n) ≡ 1(mod n) 及 a^φ(n) = a * a^(φ(n) - 1), 可得a的 φ(n)-1 次方,就是a的模反元素。

4、 (n, e)封裝成公鑰,(n, d)封裝成私鑰。

假設m為明文,加密就是算出密文c:

m^e mod n = c (明文m用公鑰e加密並和隨機數n取餘得到密文c)
解密則是:

c^d mod n = m (密文c用金鑰解密並和隨機數n取餘得到明文m)

> 私鑰解密這個是可以證明的,這裡不展開了。

具體還是來看看步驟,舉個例子,假設alice和bob又要相互通訊。

alice 隨機取大質數p1=53,p2=59,那n=53*59=3127,φ(n)=3016

取乙個e=3,計算出d=2011。

只將n=3127,e=3 作為公鑰傳給bob(公鑰公開)

假設bob需要加密的明文m=89,c = 89^3 mod 3127=1394,於是bob傳回c=1394。 (公鑰加密過程)

alice使用c^d mod n = 1394^2011 mod 3127,就能得到明文m=89。 (私鑰解密過程)

假如攻擊者能擷取到公鑰n=3127,e=3及密文c=1394,是仍然無法不通過d來進行密文解密的。

那麼,有無可能在已知n和e的情況下,推導出d?

1. ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d。

2. φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)。

3. n=pq。只有將n因數分解,才能算出p和q。

如果n可以被因數分解,d就可以算出,因此rsa安全性建立在n的因式分解上。大整數的因數分解,是一件非常困難的事情。

只要金鑰長度足夠長,用rsa加密的資訊實際上是不能被解破的。

模運算加減法:

(a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p

(a - b) mod p = (a mod p - b mod p) mod p

模運算乘法:

(a b) mod p = (a mod p b mod p) mod p

模運算冪

a ^ b mod p = ((a mod p)^b) mod p

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