非對稱加密技術 RSA演算法數學原理分析

非對稱加密技術，在現在網路中，有非常廣泛應用。加密技術更是數字貨幣的基礎。

所謂非對稱，就是指該演算法需要一對金鑰，使用其中乙個（公鑰）加密，則需要用另乙個（私鑰）才能解密。

但是對於其原理大部分同學應該都是一知半解，今天就來分析下經典的非對稱加密演算法 - rsa演算法。

通過本文的分析，可以更好的理解非對稱加密原理，可以讓我們更好的使用非對稱加密技術。

題外話:

並部落格一直有打算寫一系列文章通俗的密碼學，昨天給站點上https, 因其中使用了rsa演算法，就查了一下，發現現在網上介紹rsa演算法的文章都寫的太難理解了，反正也準備寫密碼學，就先寫rsa演算法吧，下面開始正文。

rsa演算法的基於這樣的數學事實：兩個大質數相乘得到的大數難以被因式分解。

如：有很大質數p跟q，很容易算出n，使得 n = p * q，

但給出n, 比較難找p q（沒有很好的方式， 只有不停的嘗試）

這其實也是單向函式的概念

選取兩個大質數p，q，計算n = p * q 及 φ ( n ) = φ (p) * φ (q) = (p-1) * (q-1)

三個數學概念：

質數(prime numbe)：又稱素數，為在大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數。

互質關係：如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數是互質關係（coprime）。

φ(n)：叫做尤拉函式，是指任意給定正整數n，在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係。

如果n是質數，則 φ(n)=n-1。

如果n可以分解成兩個互質的整數之積， φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)。即積的尤拉函式等於各個因子的尤拉函式之積。

e其實是1和φ(n)之前的乙個質數

d 稱為e的模反元素，e 和 φ(n)互質就肯定存在d。

模反元素是指如果兩個正整數a和n互質，那麼一定可以找到整數b，使得ab被n除的餘數是1，則b稱為a的模反元素。

可根據尤拉定理證明模反元素存在，尤拉定理是指若n,a互質，則：

a^φ(n) ≡ 1(mod n) 及 a^φ(n) = a * a^（φ(n) - 1）， 可得a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。

假設m為明文，加密就是算出密文c:

m^e mod n = c (明文m用公鑰e加密並和隨機數n取餘得到密文c)

解密則是：

c^d mod n = m　(密文c用金鑰解密並和隨機數n取餘得到明文m)

私鑰解密這個是可以證明的，這裡不展開了。

alice 隨機取大質數p1=53，p2=59，那n=53*59=3127，φ(n)=3016

取乙個e=3，計算出d=2011。

只將n=3127，e=3 作為公鑰傳給bob（公鑰公開）

假設bob需要加密的明文m=89，c = 89^3 mod 3127=1394，於是bob傳回c=1394。 （公鑰加密過程）

alice使用c^d mod n = 1394^2011 mod 3127，就能得到明文m=89。 （私鑰解密過程）

假如攻擊者能擷取到公鑰n=3127，e=3及密文c=1394，是仍然無法不通過d來進行密文解密的。

那麼，有無可能在已知n和e的情況下，推導出d？

ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。

φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
n=pq。只有將n因數分解，才能算出p和q。

只要金鑰長度足夠長，用rsa加密的資訊實際上是不能被解破的。

模運算加減法：

(a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p

(a - b) mod p = (a mod p - b mod p) mod p

模運算乘法：

(a * b) mod p = (a mod p * b mod p) mod p

模運算冪

a ^ b mod p = ((a mod p)^b) mod p

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非對稱加密技術 RSA演算法數學原理分析

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