problem description
醫學界發現的新病毒因其蔓延速度和internet上傳播的"紅色病毒"不相上下,被稱為"紅色病毒",經研究發現,該病毒及其變種的dna的一條單鏈中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成對出現的。
現在有一長度為n的字串,滿足一下條件:
(1) 字串僅由a,b,c,d四個字母組成;
(2) a出現偶數次(也可以不出現);
(3) c出現偶數次(也可以不出現);
計算滿足條件的字串個數.
當n=2時,所有滿足條件的字串有如下6個:bb,bd,db,dd,aa,cc.
由於這個資料肯能非常龐大,你只要給出最後兩位數字即可.
input
每組輸入的第一行是乙個整數t,表示測試例項的個數,下面是t行資料,每行乙個整數n(1<=n<2^64),當t=0時結束.
output
對於每個測試例項,輸出字串個數的最後兩位,每組輸出後跟乙個空行.
sample input
4142011314
2460
sample output
case 1: 2case 2: 72
case 3: 32
case 4: 0
case 1: 56
case 2: 72
case 3: 56
由於b、d可出現0-n之間任意次，a、c只能出現0-n之間偶數次，
結合指數型母函式可得：
f(x)=(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!…+x^n/n!)^2*(1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!…+…)^2
由泰勒公式：
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!…+x^n/n!;
e^(-x)=1-x/1!+x^2/2!-x^3/3!+…-…
兩式相加可得：
e^x+e^(-x)=(1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!…+…)*2;
所以：f(x) =e^(2x) * ((e^x+e^(-x))/2)^2
= (1/4) * e^(2x) * (e^(2x) + 2 + e^(-2x))
= (1/4) * (e^(4x) + 2*e^(2x) +1)
= (1/4) * ( (1+4x/1!+(4x)^2/2!+(4x)^3/3!+…+(4x)^n/n!) + 2*(1+2x/1!+(2x)^2/2!+(2x)^3/3!+…+(2x)^n/n!) +1)
得: x^n/n! 項係數
a(n) = (1/4) * ((4x)^n/n! + 2*(2x)^n/n!)
= (1/4) * ( 4^n*x^n/n! + 2^(n+1)*x^n/n!)
= (4^(n-1) + 2^(n-1)) * x^n/n!
即所求
f(n) = (4^(n-1) + 2^(n-1)) % 100.
#include int pow_mod(int a, long long b, int m)//a^b mod m
int main()
printf("\n");
} return 0;
}
遞推法：
考慮n個字母時所有可能情況：【注意只考慮各字母出現次數不考慮排列】
f(n) =f(n,aoco)+f(n,a0cj)+f(n,ajco)+f(n,ajcj)[o、j分別對應相應字母出現次數的奇偶性]
=f(n,0) +f(n,1) +f(n,2) +f(n,3)
則當n+1個字母時
f(n+1,aoco)=[f(n,aoco)+b/c]+[f(n,a0cj)+c]+[f(n,ajco)+a],即f(n+1,0)=f(n,0)*2+f(n,1)+f(n,2)
f(n+1,aocj)=[f(n,aoco)+c]+[f(n,a0cj)+b/c]+[f(n,ajcj)+a],即f(n+1,1)=f(n,0)+f(n,1)*2+f(n,3)
f(n+1,ajco)=[f(n,aoco)+a]+[f(n,ajco)+b/c]+[f(n,ajcj)+c],即f(n+1,2)=f(n,0)+f(n,2)*2+f(n,3)
f(n+1,ajcj)=[f(n,aocj)+a]+[f(n,ajco)+c]+[f(n,ajcj)+b/c],即f(n+1,3)=f(n,1)+f(n,2)+f(n,3)*2
且f(1,0)=2,f(1,1)=f(1,2)=1,f(1,3)=0;
驗證: f(2,0)=2*2+1+1=6;
f(2,1)=2+1*2+0=4;
f(2,2)=2+1*2+0=4;
f(2,3)=1+1+0*2=2;
結果正確。
#include #define maxn 10000
int a[maxn][4] = , };
int main()
/* 由於n可取值太大，不可能直接a[n][0]a輸出，所以需要找規律，可以顯示著輸出前50項結果
for (int i = 1;i <= 50;i+=5)
printf("%2d %2d %2d %2d %2d\n", a[i][0], a[i+1][0], a[i+2][0], a[i+3][0], a[i+4][0]);
可知從第a[20][0]起是週期為20的輸出。
*/ int t;
long long n;
while (~scanf("%d", &t) && t)
printf("\n");
} return 0;
}
hdu 2065 紅色病毒 問題
複習母函式，發現這道題可以用矩陣快速冪。然後做了一下 母函式 看起來好複雜的樣子 列dp方程，構造矩陣 dp n dp i 0 表示放到了第i位，前i位中有 偶數個a，有 偶數個c dp i 1 表示放到了第i位，前i位中有 奇數個a，有 偶數個c dp i 2 表示放到了第i位，前i位中有 偶數個...
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思路 先暴力打個表，然後找規律.include includeint main int b 5 4 int64 n,m while scanf d t eof t printf n return 0 description 醫學界發現的新病毒因其蔓延速度和internet上傳播的 紅色病毒 不相上下...