求眾數的演算法研究

求眾數是乙個古老的問題。眾數：是一組資料中出現次數最多的數值。求眾數的主要演算法有：

1，hash表時間複雜度為o(n)，但空間極大，通常讓人難以承受

2，排序對元素表進行排序，然後統計元素出現的個數，得出眾數。時間複雜度為o(nlgn)，空間複雜度為o(n)

3，二叉搜尋樹用rbtree之類的樹來實現。如果實現的好，複雜度和排序接近。

這三種方法各有所長，但是都有一些問題。所以最近我腦洞大開，想擴張二叉搜尋樹以實現更簡單、更高效的眾數演算法。這個演算法的複雜度約為o(nlgn)，但是實際來看，效率比普通的二叉樹實現效率高得多。看一下簡單的效能測試(隨機資料)：

資料量/n

mytreetimes/ms

std::maptimes/ms

pbds::rbtreetimes/ms

std::sorttimes/ms

100000

1578

9332

1000000

143811

936343

10000000

1435

8253

9397

4040

可見，這種方法比現有的樹演算法優勢明顯，對於排序方法也有一定優勢（當然這也有手寫快於封裝的因素）。但這還只是隨機資料的測試，如果資料是特殊的（眾數出現次數很多），效率會更高。

好了關子賣完了，這種演算法的思路很簡(ju)單(ruo)：對於乙個bst，每乙個node記錄兩個值：key和times（數字和出現的次數）。bst基於key構建，而每次插入時，一旦當前節點子樹的times大於當前節點的times，就把子樹上旋。經過多次插入後，根的key即是乙個眾數，times即是它出現的次數。

對於這種樹（下面稱modetree）的定義是：

空樹是modetree

乙個對稱為乙個節點

如果對於任意乙個節點n，n的左孩子是空樹或者左孩子的key小於n的key，n的右節點是空樹或者右孩子的key大於n的key，且n的times大於或等於它的孩子的times，則n是modetree

如果還是不太懂，我們就把需要的知識複習一下。

0、資料結構

普通二叉樹多乙個times值、、這個沒什麼問題，直接上**

typedef
struct node;
typedef node *tree;
struct node ;
tree root;

1、treap的左右旋轉這裡的思想和treap有點接近，而且旋轉操作和treap是一樣一樣的。可以參考我的其他文章

在這裡用一幅**釋左右旋轉（注意具體方法）：

**給出乙個例項：

void liftleftchild(tree &node)
/*左節點上旋*/
void liftrightchild(tree &node)
/*右節點上旋*/

2、左右旋轉在什麼時候做左右旋轉是為了維護性質三中孩子的times比父母小（即越靠近根出現次數越多）這一性質。那麼什麼時候旋轉最合適呢？顯然如果專門來維護性質很不划算。

我們考慮什麼能破壞性質：顯然，只有插入資料才能導致乙個節點的times發生改變，從而使它的times大於其父親，破壞性質3。那麼，不妨在插入後檢查是否違反性質，如果違反就進行旋轉。

插入pushkey**如下：

void pushkey(tree &n, int key)
else
if (n->key == key) else
if (n->key > key) else
if (n->key < key) 
}

3、剩下的問題

// 獲取眾數出現次數
int maxtimes() 
/*獲取乙個眾數（根節點）
* 如果要獲取所有眾數也很方便
* 直接遞迴向下找所有times = maxtimes()的節點即可
*/int mode() 
/*如果認(jiao)真(qing)還可以寫個刪除，和bst完全一樣*/
inline
void del(tree &nd) 
}

4、完整**

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef struct node;
typedef node *tree;
struct node ;
tree root;
inline
void liftleftchild(tree &node)
inline
void liftrightchild(tree &node)
inline
void pushkey(tree &n, int key)
else
if (n->key == key) else
if (n->key > key) else
if (n->key < key) 
}inline int maxtimes() 
inline int mode() 
inline int times(tree nd, int key) 
int main()
printf("%d\n", mode());
return
0;}

5、演算法正確性分析演算法的正確性是顯然的。如果pushkey導致乙個節點的孩子的times更大，必定會觸發上旋，一路上旋到需要的地方（即性質3一定不會被破壞）。特別的，這種演算法可以很方便的求出第二眾數、第三眾數等等。

6、演算法複雜度分析

由測試來看，這種方法的效率是很高的。因為出現頻率更高的數更有可能是眾數，上旋可以使下次操作更快。如果眾數出現次數特別多，許多操作都只需要常數時間。

顯然在最壞情況下，複雜度為o(n^2)，即數字都不重複而且是單調的。對於這種情況，可以使用隨機化上旋出現次數相同(times相同)的節點的方法來解決，實現非常簡單。（這樣實現的二叉樹有高概率是良好的平衡樹？請大神解釋）

在最好情況下，即眾數出現次數充分多時，複雜度為o(n)，幾乎和hash媲美。

在通常情況下，由於這樣的方法類似於treap，複雜度應該為o(nlgn)。

從總體上看，這種方法是很優秀的（特別是便於實現）。

7、總結

這是對二叉排序樹（更準確地是對treap）的一種擴張，事實證明這種方法很成功。看來，擴張已有的資料結構是一種很好的學習方法。

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