1. 泛函的概念
函式y=f(x)是乙個變數x∈r到y∈r的乙個對映，而泛函是表示乙個空間集合u∈ rn
到r的對映。說起來比較抽象，以乙個例子說明：可以想象乙個三維空間內有無數條不同的曲線，這些曲線組成了空間集合u，每一條曲線表示該集合u的乙個元素（u類似於函式中的x變數，具體一條曲線對應x變數的某個具體值），這些曲線在實數r上都有乙個值與之對應，當曲線變化時，對應的值也相應發生變化。
值得一提的是，由於u集合中的每條曲線對應乙個值，該值實際上是表徵了具體某條直線的特性（比如曲線的總長），這是一條曲線的整體對應了某個值，所以當具體一條曲線上的某個變數在變動時，該曲線對應的值是不變的，也就是說曲線上的變數變動對泛函無意義，而是整條曲線作為變數（比如一條曲線變成了集合u中的另一條曲線）對泛函值的改變才有貢獻。這也就是為什麼稱泛函是「函式的函式」的原因（第乙個函式表示u集合中的各條曲線，第二個函式表示曲線集合到實數r的對映）。
2.泛函的梯度下降流
為了更好地理解泛函的梯度下降流，首先來看函式的導數。什麼是函式的導數？
函式的導數其實就是函式的增加方向。比如u=x
2+y2-9的函式，用三維圖表達該函式如下圖。 u的導數u'=2x+2y,指示的是u值的增加方向，這裡的x,y表示向量，亦可寫成u'=(2x, 2y)。
類似於函式導數的概念，泛函的一階變分（即類似於一階導數）指示的是泛函的增加方向。因此一階變分的負值就是該泛函的梯度下降流。
比如乙個能量e(u)=∫f(x, u(x), ▽u(x))dx關於u的一階變分e'(u)的負值，即-e'(u)就是該能量泛函的梯度下降流，也就是說函式集u隨著該方向行走，其對應的能量會逐步減少。例如u有其中乙個函式u(i)對應能量e(i)，u(i+1)=u(i)+(-e'(u))△t表示-e'(u)的方向走了乙個步長△t後沿著所對應的能量e(i+1)
du/dt=[u(i+1)-u(i)]/△t=-e'(u)=-
de(u)/
du，這個就是我們常見影象處理中的
能量泛函下降流
（流的意思就是從乙個u(i)→u(i+1)的連續變化方向）。
能量泛函和變分法
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結合泛函極值 （二） 泛函的極值
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work 如何理解泛函以及變分
這個函式，比如最簡單的y x 2，有乙個特點，就是它的輸入和輸出都是數值。而現在有這樣一類問題，它的自變數本身就是乙個函式。舉個簡單的栗子 有乙個曲面滑梯，寶寶把乙個小玻璃球放在滑梯頂端讓它沿著曲面滑下來。用的時間假設是t1。又有另外乙個曲面，高度和第乙個滑梯一樣，但就是曲面形狀不太一樣，小玻璃球滑...