原帖太多latex，悲劇了，不能直接複製過來了，只好重新整理一遍。
↑正文前先來乙個專業的分割線↑
所謂拓撲，是一種數學結構。
對於乙個集合 e，如果 e 的乙個子集族 t 滿足：
空集和全集 e 屬於 t；
t 中任意元素的並還是屬於 t；
t 中任意有限個元素的交還是屬於 t。
就稱 t 為 e 上的乙個拓撲（topology） 。
稱 (e,t) 為拓撲空間（topological space）。
任一集合 e 至少存在兩個拓撲：
開集（open set）在拓撲學中定義比在分析學中要寬。分析中，開集是指點都是內點的集合；拓撲學中，開集和拓撲是緊密相連的，它指的是拓撲的成員，具體由特定的拓撲決定。拓撲學的定義是蘊含分析學的定義的。
另外，閉集（closed set）可以視為補集是開集的集合。
點 x 的鄰域（neighborhood）定義是：
存在乙個包含點 x 的開集 v ，使得點集 u 包含開集 v，則稱 u 為 x 的乙個鄰域。
拓撲學中的收斂（converge），是指對於點列 ，和某點 x 與它的任意鄰域 u(x)，存在某個正整數 n，在n大於n之後，點列中所有的元素都屬於鄰域 u(x) ——就可以說點列 收斂到 x 了。
看上去和分析學中的收斂定義一樣？哼哼，注意這可是拓撲空間哦。
在拓撲空間裡，點列的收斂點有時候不止乙個，可以是兩個、三個、甚至多個。這也是拓撲空間反直觀的地方。我總認為，真要在腦海中中給拓撲空間乙個直觀的影象，是不大可能的；但某些特定的拓撲空間的影象，可以有助學習理解——譬如分析學中的 n 維歐氏空間，也可以是拓撲空間的特例；拓撲學中的所有結論，在分析學中都可成立。
還有拓撲空間的分割，對應有一類特殊的空間：t1、t2、t3、t4。
只說明一下t2，它也稱豪斯多夫空間（hausdorff space），其定義是在空間中的每任意兩點，都能找到各自的不相交鄰域。
在豪斯多夫空間，收斂點就是唯一的了。
因為歐氏空間也是豪斯多夫空間的一種，對應到歐氏空間，會更好理解什麼是「鄰域不交」。如圖所示
↓再來乙個專業的分割線↓
這門泛函mooc酷斃了，開始上課後連點集拓撲和實變函式也順帶學了，一次性滿足三個願望啊！
泛函分析 1
泛函分析 第一次 學習教材 泛函分析講義 張恭慶 1.感覺泛函 是一類函式的意思 泛函分析 是指對滿足某些條件的函式的分析 例如 定義1.1.1 xt是非空集合，在xt上定義雙變數的實值函式p x,y 滿足 1 p x,y 0,而且當且僅當x y時，取0 2 p x,y p y,x 3 p x,z ...
泛函分析重點定理
泛函分析重點定理 hahn banach 泛函延拓定理 設 x 是實線性空間，p x 是 x 上次線性泛函，若 f 是 x 的子空間 z 上的實線性泛函，且被 p x 控制，即滿足 f x le p x x in z 則存在 x 上的實線性泛函 overline 使得當 x in z 時，有 ove...
你想了解「泛函分析」嗎？
有人說數學不是科學，我猜他想表達的是數學不是自然科學，然也，恩格斯一百多年前就表達了這種觀點，他在 反杜林論 中是這樣定義數學的 數學 一種研究思想事物 雖然它們是現實的摹寫 的抽象的科學。這清楚地表明 數學不屬於自然科學 所以我們通常稱數學為數學科學，以示與自然科學的區別。法國布林巴基學派有乙個更...