1 (10 分) 設 $\mathcal$ 是 banach 空間, $f$ 是 $\mathcal$ 上的線性泛函. 求證: $f\in \mathcal(\mathcal)$ 的充分必要條件是 \[ n(f)=\;\ f(x)=0 \} \] 是 $\mathcal$ 的閉線性子空間.
證明: 參見書 p 82 t 2.1.7(3).
2 (10 分) 設 $\mathcal$ 是 hilbert 空間, $l$ 為 $\mathcal$ 上的一實值線性有界泛函, $c$ 是 $\mathcal$ 中一閉凸子集, \[ f(v)=\frac||v||^2-l(v)\quad(\forall\ v\in c). \] 求證:
(1)$\exists\ u^*\in \mathcal$, 使得 \[ f(v)=\frac||v-u^*||^2-\frac||u^*||^2\quad (\forall\ v\in c); \]
(2) $\exists\ |\ u_0\in c$, 使得 \[ f(u_0)=\inf_f(v). \]
證明: 參見書 p 87 t 2.2.2.
3 (15 分) 設 $\mathcal$ 是 hilbert 空間, $a\in \mathcal(\mathcal)$, 並且 $\exists\ m>0$, 使得 \[ |(ax,x)|\geq m||x||^2\quad(\forall\ x\in \mathcal). \] 求證: $a^$ 存在且 $a^\in \mathcal(\mathcal)$.
證明: 參見書 p 103 t 2.3.3.
4 (10 分) 設 $\mathcal$ 是賦範線性空間, $\$ 是 $n$ 個線性無關元. 求證: $\exists\ \$ 使得 \[ =\delta_\quad(\forall\ i,j=1,\cdots,n). \]
證明: 參見書 p 124 t 2.4.7.
5 (10 分) 設 $\mathcal$ 是復賦範線性空間, $e\subset \mathcal$ 是非空的均衡閉凸集. 求證: $\exists\ f\in \mathcal^*$, 使得 \[ \sup_|f(x)|<|f(x_0)|. \]
證明: 參見書 p 124 t 2.4.10.
6 (10 分) 設 $\mathcal$ 是 hilbert 空間, $t\in \mathcal(\mathcal)$ 滿足 $||t||\leq 1$. 證明: $tx=x$ 的充分必要條件是 $t^*x=x$.
證明: 僅證必要性, 充分性類似可證. 由 $tx=x$ 及 $||t||\leq 1$ 知 \[ ||t||=1, \] 而 \[ ||t^*||=||t||=1. \] 於是 \begin ||t^*x-x||^2 &=&(t^*x-x,t^*x-x)\\ &=&||t^*x||^2-(t^*x,x)-(x,t^*x)+||x||^2\\ &=&||t^*x||^2-(x,tx)-(tx,x)+||x||^2\\ &=&||t^*x||^2-||x||^2\quad(\mbox tx=x)\\ &\leq& ||t^*||^2\cdot ||x||^2-||x||^2\\ &=&0\quad(\mbox ||t^*||=1). \end}
7 (15 分) 設 $\mathcal$ 是 hilbert 空間, $t:\mathcal\to \mathcal$ 是線性運算元且滿足 \[ (tx,y)=(x,ty)\quad (\forall\ x,y\in \mathcal). \] 求證:
(1) $t\in \mathcal(\mathcal)$;
(2)$t^*=t$, 此時稱 $t$ 為自共軛運算元;
(3)若 $\overline=\mathcal$, 則對 $\forall\ y\in r(a)$, 方程 \[ ax=y \] 存在唯一解.
證明:
(1)往證 $t$ 是閉運算元, 而由 $d(t)=\mathcal$ 及閉影象定理知 $t\in \mathcal(\mathcal)$. 事實上, 設 $\mathcal\ni x_n\to x,\ tx_n\to y$, 則於 \[ (tx_n,z)=(x_n,z)\quad (\forall\ z\in \mathcal) \] 中令 $n\to\infty$,有 \[ (y,z)=(x,tz)=(tx,z)\quad(\forall\ z\in \mathcal). \] 於是 \[ y=tx. \]
(2)參見書 p 151 t 2.5.9(1).
(3)參見書 p 151 t 2.5.9(2).
8 (10 分) 設 $\varphi\in c[0,1]$, $t:\ l^2[0,1]\to l^2[0,1]$ 是由 \[ (tf)(x)=\varphi(x)\int_0^1\varphi(t)f(t)\ dt\quad(\forall\ f\in l^2[0,1]) \] 給出的線性運算元. 求證:
(1)$t$ 是自共軛運算元 (定義見題7);
(2)$\exists\ \lambda\geq 0$, 使得 $t^2=\lambda t$, 由此求出 $t$ 的譜半徑 $r_\sigma(t)$.
證明:
(1)對 $\forall\ f,\ g\in l^2[0,1]$, 由 \begin (tf,g) &=&\int_0^1 [ \varphi(x)\int_0^1 \varphi(t)f(t)\ dt ]\cdot g(x)\ dx\\ &=&\int_0^1 \varphi(t)f(t)\ dt \cdot \int_0^1 \varphi(x)g(x)\ dx\\ &=&\int_0^1 \varphi(x)f(x)\ dx \cdot \int_0^1 \varphi(t)g(t)\ dt\\ &=&\int_0^1 f(x)\cdot [\varphi(x)\int_0^1 \varphi(t)g(t)\ dt]\ dx\\ &=&(f,tg) \end 知 $t^*=t$, 而 $t$ 為自共軛運算元.
(2)由 \begin (t^2f)(x) &=&[t(tf)](x)\\ &=&\varphi(x)\int_0^1 \varphi(t)(tf)(t)\ dt\\ &=&\varphi(x) \int_0^1 [ \varphi(t) \cdot \varphi(t) \int_0^1 \varphi(s)f(s)\ ds ]\ dt\\ &=&\int_0^1 \varphi^2(t)dt\cdot \varphi(x)\int_0^1 \varphi(s)f(s)\ ds\\ &=&\int_0^1 \varphi^2(t)dt\cdot (tf)(x)\quad (\forall\ f\in l^2[0,1]) \end 知 \[ t^2=\lambda t, \] 其中 \[ \lambda=\int_0^1 \varphi^2(t)dt. \] 由數學歸納法易知 \[ t^n=\lambda^t\quad(n\geq 1), \] 而 $t$ 的譜半徑 \[ r_\sigma(t)=\lim_||t^n||^\frac =\lim_ \lambda^\frac||t||^\frac =\lambda =\int_0^1 \varphi^2(t)dt. \] 倒數第二個等號是因為若 $\varphi\equiv 0$, 則 $\lambda=0$, $t=0$; 若 $\varphi\not\equiv 0$, 則 $||t||\neq 0$.
9 (10 分) 設 $c[0,1]$ 是連續函式空間, 賦以最大值範數 \[ ||x||_\infty =\max _ |x(t)|\quad (\forall\ x\in c[0,1]). \] 求證: 在 $c[0,1]$ 中, $x_n\rightharpoonup x_0$ 的充分必要條件是 \[ \lim_x_n(t)=x_0(t),\quad \forall\ t\in [0,1]\cap \mathbb, \] 且 \[ \sup_||x_n||_\infty<\infty. \]
證明: 必要性. 對 $\forall\ t\in [0,1]\cap \mathbb$, 易知 \[ f_t:\ c[0,1]\ni x\mapsto x(t) \] 是 $c[0,1]$ 上的有界線性泛函, 而 \[ \lim_x_n(t) =\lim_f_t(x_n) =f_t(x_0)=x_0(t). \] 再把 $x_n$ 看成 $c[0,1]^$ 中的元素, 由共鳴定理, \[ \sup_||x_n||_\infty<\infty. \] 充分性. 由於 $c[0,1]$ 的共軛空間是 \[ bv[0,1] =\;\ \} \] (參見書 p 129 例 2.5.3), 且對 $\forall\ f\in c[0,1]^*$ 有表示 \[ f(x)=\int_0^1 x(t)dg(t)\quad (\forall\ x\in c[0,1]). \] 由充分性的假設及 lebesgue 控制收斂定理, \[ \lim_f(x_n) =\lim_\int_0^1 x_n(t)dg(t) =\int_0^1 x_0(t)dg(t) =f(x_0). \]
應老師要求, 修改了[家裡蹲大學數學雜誌]第036期泛函分析期末試題, 而得到了本
文, 並給出了參考解答.
家裡蹲大學數學雜誌 第036期泛函分析期末試題
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家裡蹲大學數學雜誌 第237期Euler公式的美
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