在第 2.3 節中, 我們已經知道, 對 $$\bee\label m(x,y)\rd x+n(x,y)\rd y=0 \eee$$而言,
1. 若 $m_y=n_x$, 則 \eqref 為恰當 ode, 而可通過求解 pde 組 $$\bex u_x=m,\quad u_y=n \eex$$ 求出 $u$, 而 \eqref 的通解為 $u=c$.
2. 若 $m_y\neq n_x$, 則再若
(1). $\dps=\varphi(x)}$, 則 \eqref 有積分因子 $e^$;
(2). $\dps=\psi(y)}$, 則 \eqref 有積分因子 $e^$.
上述討論了僅含有 $x$ 或 $y$ 的積分因子.
現在我們討論下另一求解方法, 叫做分組求積分因子法. 設 \eqref 的左端可分成兩組, $$\bee\label (p_1\rd x+q_1\rd y) +(p_2\rd x+q_2\rd y)=0, \eee$$其中第
一、第二組各有積分因子 $\mu_1,\mu_2$, 即 $$\bex \mu_1(p_1\rd x+q_1\rd y)=\rd u_1,\quad \mu_2(p_2\rd x+q_2\rd y)=\rd u_2. \eex$$ 若存在可微函式 $g_1,g_2$ 使得 $$\bex \mu_1g_1(u_1)=\mu_2g_2(u_2), \eex$$ 則 $\mu=\mu_1g_1(u_1)$ 是 \eqref 的積分因子. 事實上, $$\beex \bea &\quad \mu[(p_1\rd x+q_1\rd y)+(p_2\rd x+q_2\rd y]\\ &=g_1(u_1)\rd u_1+g_2(u_2)\rd u_2\\ &=\rd \***. \eea \eeex$$
例: 求解 ode $$\bee\label x(4y\rd x+2x\rd y)+y^3(3y\rd x+5x\rd y)=0. \eee$$
解: 設 $$\bex p_1=4xy,\quad q_1=2x^2;\quad\quad p_2=3y^4,\quad q_2=5xy^3. \eex$$ 則 $$\bex p_-q_=0,\quad p_-q_=12y^3-7y^3=7y^3. \eex$$ 據此, 第一組有積分因子 $\mu_1=1$, $$\bex \mu_1(p_1\rd x+q_1\rd y)=\rd u_1,\quad u_1=2x^2y, \eex$$ 第二組有積分因子 $\mu_2=e^\rd x}=x^\frac$, $$\bex \mu_2(p_2\rd x+q_2\rd y)=\rd u_2,\quad u_2=\frac x^\fracy^4. \eex$$ 注意到 $$\bex 1\cdot \frac\***}^\frac2x^2y =x^\frac\cdot \*** x^\fracy^4}^\frac, \eex$$ (取 $$\bex g_1(u_1)=\frac\***}^\fracu_1,\quad g_2(u_2)=u_2^\frac \eex$$ 即可) 我們知 \eqref 有積分因子 $x^2y$ (常數沒有關係, 可化為 $1$): $$\beex \bea 0&=x^2y[x(4y\rd x+2x\rd y)+y^3(3y\rd x+5x\rd y)]\\ &=(4x^3y^2\rd x+2x^4y\rd y) +(3x^2y^5\rd x+5x^3y^4\rd y)\\ &=\rd (x^4y^2)+\rd (x^3y^5)\\ &=\rd (x^4y^2+x^3y^5). \eea \eeex$$
注: 2015 年 3 月 23 日上課的時候講積分因子這一小節, 這是舉的第二個例子, 可惜了, 不能完完全全按照書上的方法求解. 就此寫出, 以為(讀第四聲)來者. 本 ``小文'' 由自丁同仁李承志《常微分方程教程(第三版)》第 49 頁, 及王高雄等《常微分方程(第三版)》第 61 頁習題 2(11).
家裡蹲大學數學雜誌 第237期Euler公式的美
1 euler 公式 e 1 0 1 它把 b.i 虛數單位 sqrt 復變 d.1 自然數的單位 道生一,一生二,二生三,三生萬物 老子關於萬物的起源 e.0 人類最偉大的發現之一 可以考慮平衡,欠費等問題了 這些數學中最重要的一些常數聯絡了起來.2 它把現代數學的三大分支 a.分析 analys...
家裡蹲大學數學雜誌 第410期定積分難題
1.1 設 x geq 0 n 為自然數,證明 bex x n geq n x 1 1 eex 2 forall n 求證 bex int 0 x n rd x 2 eex 3 設正數列 sed 滿足 bex vlm int 0 x n rd x 2.eex 求證 dpsa n 1 2.設 f in...
家裡蹲大學數學雜誌 第036期泛函分析期末試題
1 15 分 設 mathcal 是 hilbert 空間,l 為 mathcal 上的一實值線性有界泛函,c 是 mathcal 中一閉凸子集,f v frac v 2 l v quad forall v in c 求證 1 對任意 mathcal 上線性有界泛函 g exists u 0 in ...