設 $b_t$ 是以 $0$ 為起點的布朗運動, 則 $$\bee\label e\sez}=0,\quad e\sez}=\frac=(2k-1)!!t^k. \eee$$
證明:方法一. 布朗運動 $b_t$ 的特徵函式適合 $$\bex e\sez}=e^u^2t}, \eex$$ 於是比較 $$\bex e\sez} =e\sez^\infty \fracu^k} =\sum_^\infty \frac}u^k, \eex$$ $$\bex e^u^2t} =\sum_^\infty \fracu^ \eex$$ 而有 \eqref.
方法二. 直接計算有 $$\bex e\sez&=&\int_f(b_t)\, p^0\sez\\ &=&\int_f(x)p(t,0,x)\, \rd x\\ &=&\int_f(x)\frac}e^}\, \rd x, \eex$$ 而取 $\dps$, 有 $$\bex e\sez =\frac}\int_ x^ke^}\, \rd x. \eex$$ 於是當 $k$ 為奇數時, $e\sez=0$; 當 $k$ 為偶數時, $$\bex e\sez} &=&\frac} \int_0^\infty x^e^}\, \rd x\\ &=&\frac}\int_0^\infty (2t)^k s^ke^\fracs^}\, \rd s\\ &=&\frac}\gamma\***}\\ &=&2^kt^k\***}\***}\cdots\frac\\ &=&(2k-1)!!t^k\\ &=&\fract^k. \eex$$
方法三. 設 $$\bex \beta_k(t)=e\sez, \eex$$ 則 $$\bex & &\rd b_t^k=k b_t^\rd b_t+\frack(k-1)b_t^\rd t \quad \***\mbox}\\ &\ra&b_t^k =k\int_0^tb_s^\,\rd b_s +\frack(k-1)\int_0^tb_s^\, \rd s\\ &\ra&\beta_k(t)=\frack(k-1)\int_0^t\beta_(s)\,\rd s\quad\***=0}. \eex$$ 於是 $$\bex \beta_=\beta_=\cdots=b_1=0; \eex$$ $$\bex \beta_0=1, \eex$$ $$\bex \beta_2=\frac\cdot 2\cdot 1\int_0^t\,\rd s=\fract, \eex$$ $$\bex \beta_4=\frac\cdot 4\cdot 3\int_0^t \fracs\, \rd s =\frac\cdot \frac, \eex$$ $$\bex \beta_6 =\frac\cdot 6\cdot 5 \int_0^t \frac\cdot\frac\,\rd s =\frac\cdot\frac, \eex$$ $$\bex \cdots \eex$$ $$\bex \beta_=\fract^k. \eex$$
家裡蹲大學數學雜誌 第237期Euler公式的美
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