NOI2008 BZOJ1061志願者招募

1061: [noi2008]志願者招募

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申奧成功後，布布經過不懈努力，終於成為奧組委下屬公司人力資源部門的主管。布布剛上任就遇到了乙個難題：為即將啟動的奧運新專案招募一批短期志願者。經過估算，這個專案需要n 天才能完成，其中第i 天至少需要ai 個人。布布通過了解得知，一共有m 類志願者可以招募。其中第i 類可以從第si 天工作到第ti 天，招募費用是每人ci 元。新官上任三把火，為了出色地完成自己的工作，布布希望用盡量少的費用招募足夠的志願者，但這並不是他的特長！於是布布找到了你，希望你幫他設計一種最優的招募方案。

input

第一行包含兩個整數n, m，表示完成專案的天數和可以招募的志願者的種類。接下來的一行中包含n 個非負整數，表示每天至少需要的志願者人數。接下來的m 行中每行包含三個整數si, ti, ci，含義如上文所述。為了方便起見，我們可以認為每類志願者的數量都是無限多的。

output

僅包含乙個整數，表示你所設計的最優方案的總費用。

sample input

3 3

2 3 4

1 2 2

2 3 5

3 3 2

sample output

14 hint

招募第一類志願者3名，第三類志願者4名 30%的資料中，1 ≤ n, m ≤ 10，1 ≤ ai ≤ 10； 100%的資料中，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 10000，題目中其他所涉及的資料均不超過2^31-1。

這道題正確的解法是構造網路，求網路最小費用最大流，但是模型隱藏得較深，不易想到。構造網路是該題的關鍵，以下面乙個例子說明構圖的方法和解釋。

例如一共需要4天，四天需要的人數依次是4,2,5,3。有5類志願者，如下表所示：

種類 1 2 3 4 5

時間 1-2 1-1 2-3 3-3 3-4

費用 3 4 3 5 6

設僱傭第i類志願者的人數為x[i]，每個志願者的費用為v[i]，第j天僱傭的人數為p[j]，則每天的僱傭人數應滿足乙個不等式，如上表所述，可以列出

p[1] = x[1] + x[2] >= 4

p[2] = x[1] + x[3] >= 2

p[3] = x[3] + x[4] +x[5] >= 5

p[4] = x[5] >= 3

對於第i個不等式，新增輔助變數y[i] (y[i]>=0) ，可以使其變為等式

p[1] = x[1] + x[2] - y[1] = 4

p[2] = x[1] + x[3] - y[2] = 2

p[3] = x[3] + x[4] +x[5] - y[3] = 5

p[4] = x[5] - y[4] = 3

在上述四個等式上下新增p[0]=0,p[5]=0，每次用下邊的式子減去上邊的式子，得出

① p[1] - p[0] = x[1] + x[2] - y[1] = 4

② p[2] - p[1] = x[3] - x[2] -y[2] +y[1] = -2

③ p[3] - p[2] = x[4] + x[5] - x[1] - y[3] + y[2] =3

④ p[4] - p[3] = - x[3] - x[4] + y[3] - y[4] = -2

⑤ p[5] - p[4] = - x[5] + y[4] = -3

觀察發現，每個變數都在兩個式子中出現了，而且一次為正，一次為負。所有等式右邊和為0。接下來，根據上面五個等式構圖。

每個等式為圖中乙個頂點，新增源點s和匯點t。

如果乙個等式右邊為非負整數c，從源點s向該等式對應的頂點連線一條容量為c，權值為0的有向邊；如果乙個等式右邊為負整數c，從該等式對應的頂點向匯點t連線一條容量為c，權值為0的有向邊。

如果乙個變數x[i]在第j個等式中出現為x[i]，在第k個等式中出現為-x[i]，從頂點j向頂點k連線一條容量為∞，權值為v[i]的有向邊。

如果乙個變數y[i]在第j個等式中出現為y[i]，在第k個等式中出現為-y[i]，從頂點j向頂點k連線一條容量為∞，權值為0的有向邊。

構圖以後，求從源點s到匯點t的最小費用最大流，費用值就是結果。

根據上面的例子可以構造出如下網路，紅色的邊為每個變數x代表的邊，藍色的邊為每個變數y代表的邊，邊的容量和權值標已經標出(藍色沒有標記，因為都是容量∞，權值0)。

在這個圖中求最小費用最大流，流量網路如下圖，每個紅色邊的流量就是對應的變數x的值。

所以，答案為43+23+3*6=36。

上面的方法很神奇得求出了結果，思考為什麼這樣構圖。我們將最後的五個等式進一步變形，得出以下結果

① - x[1] - x[2] + y[1] + 4 = 0

② - x[3] + x[2] + y[2] - y[1] - 2 = 0

③ - x[4] - x[5] + x[1] + y[3] - y[2] + 3 = 0

④ x[3] + x[4] - y[3] + y[4] - 2 = 0

⑤ x[5] - y[4] - 3 = 0

可以發現，每個等式左邊都是幾個變數和乙個常數相加減，右邊都為0，恰好就像網路流中除了源點和匯點的頂點都滿足流量平衡。每個正的變數相當於流入該頂點的流量，負的變數相當於流出該頂點的流量，而正常數可以看作來自附加源點的流量，負的常數是流向附加匯點的流量。因此可以據此構造網路，求出從附加源到附加匯的網路最大流，即可滿足所有等式。而我們還要求noi_employee_3最小，所以要在x變數相對應的邊上加上權值，然後求最小費用最大流。

由於建圖太神，只能%rush出正解的神犇。。

當時知道費用流也不會建圖，等學完線性規劃update此篇博文。。

附上本蒟蒻的**：

#include
#include
#include
using namespace std;
#define t 1002
#define inf 0x7fffffff
int n,m,cnt=1,head,tail,dis[10001],h[10001],q[10001],ans=0,sum;
bool mark[10001],vis[10001];
struct kx
edge[50001];
intread()
while (ch>='0' && ch<='9')
w=w*10+ch-'0',ch=getchar();
return w*s;
}void add(int u,int v,int w,int cost)
bool spfa()}}
return dis[0]!=inf;
}int dfs(int
x,int f)
return used;
}int main()
add(n+1,t,l,0);
for (i=1;i<=m;i++)
while (spfa())
}printf("%d",ans);
return
0;}

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