可逆=行列式不為零=滿秩=齊次方程只有零解=線性無關
線性無關的意思是：向量之間沒有任何關係，誰也不能表示誰，誰也不能被誰表示，向量前的係數都是零
在高斯消元過程中，會出現方程組中若干個方程被消去的情況，剩下的方程個數稱為r，稱為線性方程組的秩。
這r個方程可以表示原方程組中的所有方程，並且這r個方程不能再減少。
方程組的個數就是係數矩陣的秩r
r=n方程個數等於未知數個數，有唯一解，這個唯一解就是零解
因此要考慮係數矩陣的秩是否小於未知數的個數。
秩是乙個數字，是關於矩陣的乙個數量指標，代表線性無關的方程的個數，
或者是最大無關向量組的個數，張成最大子空間的維數。
1.行列式不為零，
秩等於階數，
2.行列式為零，秩是不為零的子式的最高端數
3.不是方陣的矩陣，秩是不為零的子式的最高端數
由下圖理解，為什麼秩是行列式不為0的子式的最高端數，因為如果任意一行或列可以用矩陣中其他任意行或列的線性組合來表示，那麼這個行列式的值就等於0.
ax=b可以理解成：
1.向量方程，b=x1a1+x2a2+.....
向量b如果在係數矩陣a的列空間裡，那麼方程組有解
解方程組，就是找出向量b被向量組線性表示的係數
2.矩陣方程
若a是mxn矩陣，即n維向量x被a變換成新的m維向量b
解方程組就是已知變換的方式a和變換結果b，求變換之前的樣子x，也就是求a的逆矩陣
或者說是求有哪些向量可以被a變成b。
秩的理論完整的刻畫了線性方程組解的情況
其中方程組的個數就是係數矩陣的秩
有解的充要條件是：
係數矩陣的秩r等於增廣矩陣的秩rc
矩陣增廣的意思是：把所有的向量和變換矩陣的列向量放到一起同時進行基座標係的變換，這樣就可以保證所有的向量是參照同乙個基的座標值，從而保證解的等價性。
當且僅當r=rc時，方程有解，且可以按r（方程個數）與n（未知數個數）的關係繼續分類：
1.r=n，方程個數等於未知數個數，有唯一解
2.r如果r由於測量誤差的存在和多次測量，超定方程組是很常見的。
對於向量b不在a的列空間中這種情況，人們想了個辦法，就是把b向量投影到列空間中，得到乙個投影向量b2
作為替代向量。
然後，方程組ax=b的最小二乘解就是方程組ax=b2的解。
方程組ax=b2的最小二乘解有乙個公式：
誤差向量b-b2與矩陣a的列空間正交，也就是與a的每個列向量正交，那麼
向量b-b2與每個列向量的內積等於0
a轉置一下，列向量變成行向量，仍然有內積等於0：
a』（b-b2）=0
把ax=b2帶入上式：
a『（b-ax）=0
化簡得到：
a』ax=a』b
這個方程組的解就是原方程的最小二乘解
解齊次方程組的過程：
增廣矩陣初等行變換（高斯消元）
得到同解方程組
變數右移
補齊恒等式
將方程組改寫成向量形式
未知數個數n是空間維數n
方程個數r是係數矩陣的秩
若有四個未知數，就是四元方程
1.如果只有
乙個四元方程
，則變數右移可以將其中
乙個變數
用其餘三個變數的線性組合表示，加上乙個常向量，四個向量
2.如果有
兩個四元方程
，右移變數的話，有
兩個變數
可以由其餘兩個變數線性表示，加上乙個常向量，三個向量量
3.如果有三個四元方程……
此處的向量是變數前的係數構成的列向量（豎著的陣列）
所以線性齊次方程組的解的結構式n-r個向量，加上乙個常向量的線性組合。
線代筆記1
n元齊次方程方程組的解空間 秩r 是 rn上的n r維的子空間。解空間 零空間 是係數矩陣a行空間的正交補。正交補的意思是，n維空間裡的兩個子空間正交，且兩個子空間原點重合起來剛好成張成n維空間。將矩陣a看作行向量 則矩陣方程ax 0可以理解為 任意解向量與行向量正交 因為內積為0 而這些行向量可以...
線代筆記3
對應於係數矩陣初等變換後，對應 於主元列 的 變數 稱為基本變數，對應 非主元列 的 變數 稱為自由變數 基本變數可以表示成自由變數的 線性組合 也就是說，自由變數之間是 線性無關 的 可以被自由變數表示的基本變數和自由變數之前是線性相關的，自由變數之間是線性無關的，因為把基本變數右移，就成了乙個係...
線代筆記 05 復合矩陣
源 線性代數的本質 線性變換可以看作引數 返回值都是向量的函式。當多個線性變換復合作用於同乙個向量的時候，可以通過矩陣復合運算 也就是矩陣乘法 得到乙個等效變換。矩陣實際上描述 追蹤 的是基向量的變換，而空間內任意向量則是基向量特定的線性組合。矩陣復合運算可以模擬為函式中的 f g x 將 f 和 ...