懸線法學習筆記

之前的考試包括做題都有用過這個方法，算是個套路了。寫一篇部落格總結一下。

懸線法的用途

針對求給定矩陣中滿足某條件的極大矩陣，比如「面積最大的長方形、正方形」「周長最長的矩形等等」。可以滿足在時間複雜度為o（m*n）的要求，比一般的列舉高效的多，也易於理解。

懸線法的思路

懸線法，懸線的定義，就是一條豎線，這條豎線要滿足上端點在整個矩形上邊界或者是乙個障礙點。然後以這條懸線進行左右移動，直到移至障礙點或者是矩陣邊界，進而確定這條懸線所在的極大矩陣。也就是說，我們要針對矩陣中每個點進行求極大矩陣的操作。所以我們要$left$陣列來存每個點能到達的最左的地方，$right$陣列存每個點能到達的最右的地方。同時設定乙個$up$陣列表示最上能到達的地方，用來存矩形的上邊界。有轉移：

$r[i][j]=r[i][j+1](a[i][j]==a[i][j+1])$

$l[i][j]=l[i][j-1](a[i][j]==a[i][j-1])$

$up[i][j]=up[i-1][j]+1(a[i][j]==a[i-1][j])$

同時，在$up$進行轉移的同時$left$和$right$要進行更新。

例題

1.棋盤製作

裸題了。直接上套路即可。

**：

#include#include
using
namespace
std;
const
int n=2005
;int
l[n][n],r[n][n],up[n][n],a[n][n],n,m,ans1,ans2;
inline 
intread()
while(isdigit(ch))
return x*f;
}int
main()
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=2;j<=m;j++)
if (a[i][j]!=a[i][j-1
]) l[i][j]=l[i][j-1
]; 
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=m-1;j>=1;j--)
if (a[i][j]!=a[i][j+1
]) r[i][j]=r[i][j+1
]; 
for (int i=2;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
int a=r[i][j]-l[i][j]+1
; 
int b=min(a,up[i][j]);
ans1=max(ans1,b*b);
ans2=max(ans2,a*up[i][j]);
}printf(
"%d\n%d
",ans1,ans2);
return0;
}

2.奶牛浴場

這題在洛谷的資料加強後好多題解都被hack掉了。連wzk大佬**裡面的**也有bug233。

大體的思想是按照橫座標排序後選取兩個點作為矩形的兩個角計算面積，同時更新上下邊界。從左到右掃完後從右到左再掃一遍。最後還有按照縱座標排序再掃一遍。證明可以看洛谷第二篇題解。

**：

#include#include
#include
using
namespace
std;
const
int n=5050
;int
l,w,n,ans;
struct
node
a[n];
inline 
intread()
while(isdigit(ch))
return x*f;
}bool
cmp1(node x,node y)
bool
cmp2(node x,node y)
intmain()
}for (int i=n;i>=1;i--)
}sort(a+1,a+n+1
,cmp2);
for (int i=1;i)
ans=max(ans,l*(a[i+1].y-a[i].y));
printf("%d
",ans);
return0;
}

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