申明：此文系博主對huge對kmp演算法的推導過程的加工整理而成，在讀此文之前，如果對kmp演算法不是非常了解的，可以去到閱讀有關kmp的相關知識，如果已經非常了解，那就請繼續吧。。
有了以上的資料了解後，讓我們一起來推導和構建kmp演算法吧。
定義：a是問題中模式串（短串），長度為n；
b是問題中的文字串（長串），長度為m；
其中，a[i]代表a字串的第i位
b[j]代表b字串的第j位
a[i,j]代表a字串的第i位到第j位（注：下標從1開始）
b[i,j]代表b字串的第i位到第j位（注：下標從1開始）
sign(i,j)為符號函式，取值為0和1：
a[i] = b[j]，sign(i,j) = 1；
a[i] != b[j]，sign(i,j) = 0；
重點問題1：原始問題的等價表示
原始問題轉化為以上公式的判定問題，判定公式最大值是否等於n；
對公式1進行優化，求和部分沒有必要每次都運算n次，原因在於：在第一次有sign(i,j+i-1) = 0的時候，就應該停止了；因此我們來假設一下，設第一次sign函式在sign(i,j+i-1) = 0的位置時，i的值為k+1，則公式1就可以寫為下面的簡化形式：
這裡不難發現，以上兩個公式所求問題是完全等價的。
重點2：推導公式2等價問題的性質
公式2中，存在兩個不定量j和k，j與文字串有關，k與答案有關，因此使用乙個函式f(j) = k 來完成從文字串到答案的對映。
故原問題就變成：尋找f(j)函式的最大值，等價為：max(f(j)) ?= n，設：
f(j) = k 條件1
f(j+e) = l 條件2
其中，l > k ，e表示滿足條件的最小正整數，具體含義為：將來某一時刻能夠找到乙個後面的位置，使得其匹配成功的串長度比在它之前匹配成功的所有串長度k都更大，於是上述兩個條件可等價為如下：
條件1等價為：a[1,k] = b[j,j+k-1]
條件2等價為：a[1,l] = b[j+e,j+e+l-1]
將兩個條件中串對齊，看看我們能推出什麼性質，並且這個性質是原問題的充分不必要條件（這個性質，雖然與原問題不等價，但是不滿足這一性質，原問題肯定不成立）：
另由j+e+l-1 = j+k-1 推出來 ： l = k-e，於是再代入條件2的等價式中，有：
a[1,l] = a[1,k-e]=b[j+e,j+k-1]，又由於公式1，所以a[1,l] = a[1+e,k]
由此，我們推導出f(j+e) > f(j)的乙個重要性質，用短串來表達就是：a[1,k-e] = a[1+e,k]，也就是通常所說的前半段等於後半段。
另外由於e是滿足條件的最小正整數，所以a[1,k-e] = a[1+e,k]的含義如下：
1）物理含義是：前後最大長度相等的片段；
2）當k+1位置匹配失敗的時候，如果此時a串前k位匹配成功了，說明從b串的j+e位開始匹配，最低能夠匹配成功k-e位，那麼下一次判斷，應該是用a的k-e+1位跟b串的j+k位進行比較（對於這個性質的理解很重要，在重點三中會用到）。
重點3：推導k和e的對映關係
設有函式g(k)=k-e等價於a[1,k-e] = a[1+e,k]，現在討論g(k+1)值：
操作1：當a[k-e+1] = a[1+k]時，g(k+1)=g(k)+1
操作2：當a[k-e+1] != a[1+k]時，說明：a[1,k-e]a[k-e+1] 與串 a[e+1,k]a[k+1] 在最後一位上匹配失敗了；將 a[e+1,k]a[k+1] 看做是文字串（與b串的性質類似），a[1,k-e]a[k-e+1] 看作模式串，根據以上推導，在k-e位匹配成功，k-e+1匹配失敗的情況下，我們應該用a[g(k-e)+1]（等價於a[g(g(k))+1]）位於a[k+1]比較，如果兩者相等，則進行操作1，否則繼續操作2。
注意：由於我們的字串下表是從1開始的，所以定義邊界條件g(1)=0；如果從0開始，則g(1)=-1；
這裡，對於函式g的理解非常重要，對於kmp演算法的不同實現，其實就是在維護函式g中不同的變數值，由於變數涉及到k和e兩個值，所以相應的，我們可以定義如下三種不同的g函式，每一種不同的g函式都對應了不同的kmp演算法的具體實現：
g(k)= k-e
g(k)= -e
g(k)= e
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