題意：定義s(
n)是n
的數字之和，給出一對a,
b(0b<
101)
，求是否存在
n 滿足a×
s(n)
=b×s
(2n)
對於n中的任何乙個數字x，若x為0-4，則因為沒有進製，所以在s(2n)中貢獻為2x;若x為5-9,則由於其超過10，在s(2n)中貢獻為2x-10+1.這裡不用擔心因為進製會使得高位又滿10進製，事實上前一位最多為2*9=18或者是單純的8，不可能出現9.x位數
s(n)
s(2n
)
0~4x
2x5~9lx
2x-9
可見只有5~9的位數使s(
n)與s
(2n)
有了差異，即s(
2n)=
2s(n
)−9l
,代入原式，s(
n)簡記
為s a
×s=b
×(2s
−9l)
則(2b−a)
s=9b
l 1. a=2b，則l=0，s為任意值。可得最小的n=1；
2. a>2b，則l<0，矛盾！則無滿足的n，輸出0；
3. a<2b， s=
9bl2
b−a≤
5l(至少有l個5)，即必須滿足b≤
5a，否則無滿足的n，輸出0。
繼續討論上述第三種情況，由於分母為2b-a，l周期性地使得右邊式子可以整除，現在只要求出最小的l，列舉範圍從1到2b-a必定會有滿足的l。
得到一組滿足的（l，s），構造最小的n。首先先要在後l位塞滿5，剩下的(s-5l)開始從個位到高位塞4，直到塞完為止。
問題來了，既然l可以取多個，怎麼保證最小的l使得n最小？
假設l』=l+x，s′
=9b(
l+x)
2b−a
原來的位數(大約)是（除以4的地方應該加個向上取整）9b
l(2b
−a)−
9l4+
l 現在的位數是9b
(l+x
)(2b
−a)−
9(l+
x)4+
(l+x
) 後面減前面，差值是9b
x(2b
−a)−
9x4+
x=5a
−b4(
2b−a
)x又有條件b≤
5a，則這個差值大於等於0.位數大的數肯定比原來大了。所以最小的l可以得到最小的n.
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* file name: hdu 5710
* author: danliwoo
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* created time: 2016-07-05
17:09:58
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#include
#include
using namespace std;
#define n 1000
int ans[n], a, b;
void solve()
if(a > 2
*b || 5
*a< b)
int l, s;
for(l = 1;l < 1000;l++)
memset(ans, 0, sizeof(ans));
for(int i = 0;i < l;i++)
ans[i] = 5;
s -= l*5;
int len;
for(int i = 0;;i++) else
}len = max(len, l);
for(int i = len-1;i >= 0;i--)
printf("%d", ans[i]);
printf("\n");
}int main()
}
P5710 深基3 例2 數的性質
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卡特蘭數 hdu1130 hdu1133
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