在《演算法導論》第二章的思考題中，描述了利用霍納規則計算多項式的方法。以前自己在寫程式的時候都是傻傻的簡單粗暴地直接上了，看到這個演算法的時候眼前一亮，就多看了一些，果然要比直接計算要效率高很多。為了防止自己以後忘了這個高效的演算法，在此記錄一下。
。既然是最優的演算法規則，我們可以根據它的計算過程來分析為何它會簡化原來的計算過程。一般多項式的表示式如下： p(
n)=∑
k=0n
akxk
=a0+
x(a1
+x(a
2+..
.+x(
an−1
+xan
)))
最簡單直接的計算方法就是直接迭代計算相加，其偽**如下：
sum=0
for k<---0 to n
sum<---sum+ak*x^k
m+ak
xk的計算複雜度為k+
2 （假設加法和乘法指令的時間一樣，下同），總的計算時間為 t(
n)=c
1n+c
2(2+
3+..
.+(n
+2))
=c1n
+c2n
(n+4
)2即直接計算的時間複雜度為θ(
n2) 。
霍納規則採用的是最少乘法策略，它通過巧妙的結構分解，避免了一次次計算冪的過程，簡化了乘法計算數目，大大提高了計算效率。再次看一下多項式進行結構分解後的形式： p(
n)=∑
k=0n
akxk
=a0+
x(a1
+x(a
2+..
.+x(
an−1
+xan
)))
霍納規則的偽**如下：
y
<---0
for k<---n to 0
do y<---ak+x*y
n)=c
1n+c
2×2×
n=(c
1+2c
2)n
即霍納規則計算多項式的時間複雜度為θ(
n)。顯然，θ(
n)要遠遠優於θ(
n2) 。雖然這只是乙個小小的例子，但足以體現出演算法思想的力量，以後再寫程式決不能蒙著腦袋上去就寫了，還真是要好好琢磨一下呢。
祝楓 2023年7月10日於深圳
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