面試經常出現問題：
最長遞增子串行問題是乙個很基本、較常見的小問題，但這個問題的求解方法卻並不那麼顯而易見，需要較深入的思考和較好的演算法素養才能得出良好的演算法。由於這個問題能運用學過的基本的演算法分析和設計的方法與思想，能夠鍛鍊設計較複雜演算法的思維，我對這個問題進行了較深入的分析思考，得出了幾種複雜度不同演算法，並給出了分析和證明。 一，
最長遞增子串行問題的描述
設l=<
a1,a2,…,an
>是n個不同的實數的序列，l的遞增子串行是這樣乙個子串行lin=<
ak1,ak2,…,akm
>
，其中k1
2<…m
且ak1
k2<…km
。求最大的m值。
二，第一種演算法：轉化為lcs問題求解
設序列x=<
b1,b2,…,bn
>是對序列l=<
a1,a2,…,an
>按遞增排好序的序列。那麼顯然x與l的最長公共子串行即為l的最長遞增子串行。這樣就把求最長遞增子串行的問題轉化為求最長公共子串行問題lcs了。
最長公共子串行問題用動態規劃的演算法可解。設li=<
a1,a2,…,ai
>,xj=<
b1,b2,…,bj
>，它們分別為l和x的子串行。令c[i,j]為li與xj的最長公共子串行的長度。
這可以用時間複雜度為o(
n2)的演算法求解，由於這個演算法上課時講過，所以具體**在此略去。求最長遞增子串行的演算法時間複雜度由排序所用的o(nlogn)的時間加上求lcs的o(
n2)的時間，演算法的最壞時間複雜度為o(nlogn)＋o(
n2)＝o(
n2)。 三，
第二種演算法：動態規劃法
設f(i)表示l中以
ai為末元素的最長遞增子串行的長度。則有如下的遞推方程：
這個遞推方程的意思是，在求以
ai為末元素的最長遞增子串行時，找到所有序號在l前面且小於
ai的元素
aj，即jaji
。如果這樣的元素存在，那麼對所有
aj,都有乙個以
aj為末元素的最長遞增子串行的長度f(j)，把其中最大的f(j)選出來，那麼f(i)就等於最大的f(j)加上1，即以ai
為末元素的最長遞增子串行，等於以使f(j)最大的那個
aj為末元素的遞增子串行最末再加上
ai；如果這樣的元素不存在，那麼
ai自身構成乙個長度為1的以
ai為末元素的遞增子串行。
//動態規劃之最長遞增子串行
#include #include #include #include using namespace std;
int longestincsub(vector& vec,int length)
} int max = 0;
for (int i = 0; i < len; i++)
return max;
}//整數處理
int lcs_length_int(vector& vec1, vector& vec2, int c[100], int b[100])
else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
else
/*cout << "計算最優值效果圖如下所示：" << endl;
for (int i = 0; i <= m; i++)
cout << endl;
}*/return c[m][n];
}int main();
int length[100] = ;
cout << longestincsub(vec1,length) << endl;
int c[100][100] = ;
int b[100][100] = ;
vectorvec2(vec1.begin(), vec1.end());
sort(vec2.begin(), vec2.end());
cout << lcs_length_int(vec1, vec2, c, b) << endl;
system("pause");
return 0;
}
使用二分查詢進行優化
/* *問題：求陣列中最長遞增子串行
*寫乙個時間複雜度盡可能低的程式，求乙個一維陣列（n個元素）中的最長遞增子串行的長度。
*例如：在序列1，-1,2，-3,4，-5,6，-7中，其最長的遞增子串行為1,2,4,6,最長遞增子串行
*的長度為4。
*求解思路：使用動態規劃+二分查詢演算法 時間複雜度o(nlog(n))
*/
#include #include using namespace std;
int lis(int *array,int len)
lis[left] = array[i];//插入
if(left > max)
} delete lis;
return max;
}
int main(int args,char **argv)
; int len = sizeof(array)/sizeof(int);
int res = lis(array,len);
cout<
動態規劃之最長遞增子串行
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