若函式f滿足
a,b互質有f(a*b)=f(a)*f(b)，我們則稱f是積性函式。
常見的比如尤拉函式，莫比烏斯函式，都屬於積性函式。
線性篩法，利用積性函式的積性，篩素數同時可以計算積性函式。
然而有些問題要求低於線性的複雜度。
同樣利用積性函式的性質。
舉常見的莫比烏斯函式為例。 求∑
ni=1
μ(i)
(1<=n<=10^10)
線性複雜度顯然無法接受。
杜教篩法如何解決呢？ ∑d
|nμ(
d)=[
n=1]
設s(n)=∑n
i=1μ
(i)
s(n)=∑n
i=1∑
d|iμ
(d)−
∑ni=
1∑d|
i(dμ(d)
=1-∑n
i=1∑
d|i(
dμ(d)
接下來一步十分機智，考慮因為d|
i且d以有i/
d>=2
於是有
s(n)=1-∑n
i=2∑
⌊ni⌋
d=1μ
(d) (這裡的i表示的是d的幾倍)
=1-∑ni
=2s(
⌊ni⌋
) 可以加上分塊和記憶化優化, 複雜度為o(n3
4 )(怎麼算出來的——不會算)
還可以繼續優化，先預處理出n2
3 內的s的值，遞迴到時就可以直接返回，複雜度為o(n2
3 )，這就很可觀了。
如果是求∑n
i=1φ
(i) ，利用∑d
|nφ(
d)=n
，一樣的做就好了。
當然，有些積性函式並沒那麼好算，但出題人如果不是喪心病狂的話，通常是能用些機智做法做的。
例如f(x)=x∗
μ(x)
,顯然，f是乙個積性函式 ∑d
|xf(
d)∗x
/d=[
n=1]
設s(x)=∑n
i=1f
(i) ,結合上者則有
s(x)=1−
∑xi=
1∑d|
i(df(d)
∗(i/
d) =
1−∑x
i=2∑
⌊xd⌋
d=1f
(d)∗
i =1
−∑xi
=2i∗
s(⌊x
d⌋)
杜教篩會單獨被考嗎？這樣就水了，通常會和比較複雜的反演搞在一起。但是只要涉及積性函式，我們應有意識的想到杜教篩。
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