積性函式字首和

最近突然做到一些求積性函式字首和的題，用到了各種篩，有一題用到 min_25 篩法，於是好好學習了一波，運用極不熟練。後來又遇到一道杜教篩的題，結果發現自己連 phi(x) 字首和都不會推了？嚇得我趕緊複習 + 寫部落格。

常見（完全）積性函式；整除分塊； dirichlet 卷積；埃氏篩

這裡還是簡單介紹一下dirichlet 卷積：

我們用 * 表示兩個函式的 dirichlet 卷積。

定義函式 f 和 g 的 dirichlet 卷積形式為 $(f*g)(n)=\sum_ f(d)g\left (\frac\right )$ 。

適用範圍：存在另兩個積性函式 $g,h$ ，且滿足 $f*g=h$ ， $g,h$ 函式的字首和比較容易求。

先來舉幾個例子：

那麼具體怎麼求呢？

設 $s(n)=\sum_^ f(i)$ ，那麼有

$$\begin \sum_^ (f*g)(i) &= \sum_^ \sum_ f(d)g\left (\frac \right ) \\ s(n)=\sum_^n f(i) &= \sum_^ (f*g)(i) - \sum_^ \sum_$ 的時候複雜度最優，大概為 $\mathcal(n^)$ 。足以解決這個問題。

貼**（一百年前寫的）

1 #include2

#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
3#define ll long long
4using
namespace
std;
5const
int n=1e6+5;6
int p[n/10],cnt,vis[n],mu[n]; mapmp;
7void init(int
n)16
}17 rep (i,2,n) mu[i]+=mu[i-1
];18}19
ll s(ll n)
27return mp[n]=ret;28}
29int
main()

一些吐槽：這個杜教篩真的是篩？？好吧其實我也不知道它為什麼叫杜教篩，這確實只是個遞迴求和的方法。（ yhx : 應該叫杜氏求和法）

不管這些，下面介紹一種真正的篩—— min_25 篩。它本質和洲閣篩相同，但小一倍常數。眾所周知數論題非常容易被卡常數，所以學好 min_25 篩還是很重要的 ~

適用範圍：函式 f 需要滿足 $f(p)$ 是乙個低階多項式， $f(p^c)$ 有較為容易的求法，最好是 $\mathcal(1)$ 。這裡 p 代表任意素數。

首先 min_25 篩和洲閣篩都是基於埃氏篩的。

要求 $\sum_^ f(i)$ ，我們把 $1\sim n$ 中的素數和合數分開考慮。

假設素數集合為 $p$ ， $p_i$ 為第 i 個素數， $minp(i)$ 表示 i 的最小素因子。 

素數以下假設 $f(p)$ 為完全積性函式（但 $f(i)$ 不一定。原因下面會說）。

要求 $\sum_^n [i \in p]f(i)$ 。

為了方便計算，這裡所有數的函式值都定義為 $f(p)$ ，即都和 $f(p)$ 使用一樣的表示式。

設 $g(n,j)=\sum_^n [i\in p\ or \ minp(i)>p_j]f(i)$ ，即篩到第 j 個素數為止剩下的數和所有素數的函式值之和。

考慮 $g(n,j)$ 的轉移：

那麼 $\sum_^n [i \in p]f(i)=g(n,|p|)$ ，這裡 $p$ 是前 $\sqrt$ 個素數的集合。

【稍微解釋一下這個過程】

由於我們最終用到的函式值只有 $g(n,|p|)$ ，即我們這步求的是素數的函式值，按照我們的篩法，實際上是先將所有數都按照 $f(p)$ 的式子計算函式值，然後把合數篩掉，最後只剩下素數，那麼就能得到正確的函式值之和。但是中間篩的過程中，如果 $f(x)$ 的表示式和 $f(p)$ 不一樣的話， $g$ 的值並不是真實的函式值。所以注意這裡只求出了素數函式值之和。

合數這裡沒有素數那欄裡的若干限制。

設 $s(n,j)=\sum_^n [minp(i)\geq p_j]f(i)$ 。和 $g$ 類似的定義，但注意這裡取到了等號，且不包含素數。

$s$ 的值分 2 部分計算：質數，合數。 1 的函式值放到最後計算。

質數的函式值即 $g(n,|p|)-\sum_^ f(p_i)$ 。至於合數，由於 $f(x)$ 是積性函式，那麼可以把最小質因子全部提出來（它和剩下部分互質），所以列舉它的最小質因子 $p_k$ 及冪次 $e$ ，得 $$s(n,j)=g(n,|p|)-\sum_^f(p_i)+\sum_\sum_^\leq n}(f(p_k^e)s\left (\left \lfloor \frac \right \rfloor,k+1 \right )+f(p_k^))$$

後面的 $f(p_k^)$ 是單獨處理的特殊情況，由於前面無法統計到。

這樣總複雜度為 $\mathcal(\frac})$ 。

【為什麼要求 $f(p)$ 為低階多項式呢】

我們在處理素數部分的時候說過假設 $f(p)$ 為完全積性函式。那麼低階多項式一定能拆成 $\sum_ a_ix^i$ ，這裡每一項都是完全積性的，所以只需拆項使用上述方法求解即可。複雜度 $\times 階數$ 。

栗子loj6053 簡單的函式

這題的函式比較奇怪，但好在它是積性的； $f(p)$ 除 $p=2$ 時均為 $p-1$ ，是乙個低階多項式； $f(p^c)$ 可以 $\mathcal(1)$ 求解。所以可以用 min_25 篩求解。

把 $f(p)$ 拆掉， $p=2$ 的時候特判一下。別的直接套用上面的公式即可。

code:

1 #include2

#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
3#define ll long long45
using
namespace
std;67
const
int n=2e5+10,mod=1e9+7
;8 ll n,w[n]; int
m,sq,id1[n],id2[n],h[n],g[n],p[n],cnt,pre[n],vis[n];
910 inline int get_id(ll x)
1112
void sieve(int
n)19}20
}2122int s(ll n,int
i)32
return
res;33}
3435
intmain()
43 rep (j,1
,cnt)
44for (int i=1;i<=m&&(ll)p[j]*p[j]<=w[i];i++)
49 printf("
%d\n
",s(n,1)+1
);50
return0;
51 }

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