證明增廣路演算法的正確性及dinic演算法的使用

一直對增廣路這種貪心思想表示懷疑，今天看到乙個很好的證明。

首先介紹割的概念，所謂圖的割，指的是某個頂點集合s屬於v，從s出發的所有邊的集合成為割(s,v\s),這些邊的容量和被稱為割的容量，如果有源點s屬於s，匯點t屬於v\s，則稱之為s-t割，如果將s-t割的所有邊都在原圖中去掉，則不再有s->t的路徑。

容易得到，對於任意乙個s-t割，總有f的流量<=割的容量，根據平衡條件，當且僅當割為最小割，流為最大流時去等號

首先，對於ford-fulkerson演算法求出的流為f,f對應的殘餘網路中從s可達的頂點集合為s，因為f對應的殘餘網路中不存在從s->t的路徑了，那麼顯然，在殘餘網路中，任意一條從s->

v\s 中的邊流量f=c,任意一條從反向弧f=0，這個一定是滿足，如果不滿足，那麼s集合還可以擴充頂點，與前提矛盾。因此，s->v\s的割的容量等於流的大小。則可以證明裸的増廣路ford演算法是正確的。

再說一下dinic演算法，dinic演算法總是尋找最短的増廣路並沿著它增廣，増廣路的長度不會在增廣過程中改變，則當無法增廣時，說明分層圖上沒有可以增廣的路線了，這有兩種情況，第一，已經求出了最大流，第二，可能存在長一些的増廣路可以繼續增廣，因此，繼續bfs構造分層網路。每次完成後最短増廣路長度+1,由於最短路

#include #include #include #include #include #include using namespace std;

const int max_node = 20;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

struct edge

};vectorg[max_node];

int node_num,edge_num;

int dis[max_node]; //各頂點到源點的無權距離，通過bfs得到

int cur[max_node]; //當前弧優化

void push_edge(int from,int to,int cap)

void bfs()}}

}int dfs(int u, int v, int res)}}

return 0;

}int maxflow()

//在當前分層圖上進行最短路增廣，如果無法繼續增廣，則說明當前分層圖不存在增廣路了，需要重新構造更長路徑的分層圖

while( int x = dfs(1, node_num, inf) )

}}int main(){

#ifdef local_debug

freopen("input.txt" ,"r", stdin);

#endif // local_debug

int t,cas=1;

scanf("%d" ,&t);

while(t--){

printf("case %d: ",cas++);

for(int i=0; i

證明增廣路演算法的正確性及dinic演算法的使用

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關於最大流增廣路徑演算法的正確性的證明

krusal演算法正確性的證明

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