給定乙個十進位制正整數 n，寫下從 1 開始，到 n 的所有整數，
然後數一下其中出現的所有「1」的個數。
例如：n= 2，寫下 1，2。這樣只出現了 1 個「1」。
n= 12，我們會寫下 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。這樣，1的個數是 5。
問題是：
寫乙個函式f(n) 返回1到n之間出現的「1」的個數,比如f(12)=5。
這個問題看上去並不是乙個困難的問題，因為不需要太多的思考，大家都能找到乙個最簡單的方法來計算 f（n），那就
是從1開始遍歷到n,將其中每乙個數中含有「1」的個數加起來，
自然就得到了從1到n所有「1」的個數的和.c語言實現如下:
#include stdio.h
int count1(int n)
return inum;
}int count2(int n)
return icount;
}int main()
但是這個演算法的致命問題是效率，它的時間複雜度是o（n）×計算乙個整數數字裡面「1」的個數的複雜度 = o（n *log2 n）,如果給定的 n 比較大，則需要很長的運算時間才能得到計算結果。
解法二《程式設計之美》先從一些簡單的情況開始觀察:
如果n是一位數,可以確定f(n)=1
如過是二位數,如果 n=13，那麼從 1 到 13 的所有數字：1、2、3、4、5、6、
7、8、9、10、11、12、13，個位和十位的數字上都可能有 1，我們可以將它們分開來考慮，個位出現 1 的次數有兩次：1 和 11，十位出現 1 的次數有 4 次：10、11、12 和 13，所以 f（n）=2+4=6。要注意的是 11 這個數字在十位和個位都出現了 1， 但是 11 恰好在個位為 1 和十位為 1 中被計算了兩次，所以不用特殊處理，是對的。再考慮 n=23 的情況，它和 n=13 有點不同，十位出現 1 的次數為 10 次，從 10 到 19，個位出現 1 的次數為 1、11 和 21，所以f（n）=3+10=13。
通過對兩位數進行分析，我們發現，個位數出現 1 的次數不僅和個位數字有關，還和十位數有關：如果 n 的個位數大於等於 1，則個位出現 1 的次數為十位數的數字加 1；如果n 的個位數為 0，則個位出現 1 的次數等於十位數的數字。而十位數上出現 1 的次數不僅和十位數有關，還和個位數有關：如果十位數字等於 1，則十位數上出現 1 的次數為個位數的數字加 1；如
果十位數大於 1，則十位數上出現 1 的次數為 10。
f(13) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 2 + 4 = 6；
f(23) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 3 + 10 = 13；
f(33) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 4 + 10 = 14；
…f(93) = 個位出現1的個數 + 十位出現1的個數 = 10 + 10 =
20；
接著分析 3 位數,
如果 n = 123：
個位出現 1 的個數為 13：1, 11, 21, …, 91, 101, 111, 121
十位出現 1 的個數為 20：10～19, 110～119
百位出現 1 的個數為 24：100～123
f（123）= 個位出現 1 的個數 + 十位出現 1 的個數 + 百位出現 1 的次數 = 13 + 20 + 24 = 57；同理我們可以再分析 4 位數、 位數。
根據上面的一些嘗試，下面我們推導出一般情況下，從 n 得
到 f（n）的計算方法：
假設 n=abcde，這裡 a、b、c、d、e 分別是十進位制數 n 的各個數字上的數字。如果要計算百位上出現 1 的次數，它將會受到三個因素的影響：百位上的數字，百位以下（低位）的數字，百
位（更高位）以上的數字。
如果百位上的數字為 0，則可以知道，百位上可能出現 1 的次
數由更高位決定，比如 12 013，則可以知道百位出現 1 的情況可能
是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，
一共有 1 200 個。也就是由更高位數字（12）決定，並且等於更高
位數字（12）×當前位數（100）。
如果百位上的數字為 1，則可以知道，百位上可能出現 1 的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，也就是由更高位和低位共同決定。例如對於 12 113，受更高位影響，百位出現 1 的情況是 100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共 1 200個，和上面第一種情況一樣，等於更高位數字（12）×當前位數（100）。但是它還受低位影響，百位出現 1 的情況是 12 100～12 113，一共114 個，等於低位數字（123）+1。
如果百位上數字大於 1（即為 2~9），則百位上可能出現 1的次數也僅由更高位決定，比如 12 213，則百位出現 1 的可能性為：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有 1 300 個，並且等於更高位數字+1（12+1）
×當前位數（100）。
通過上面的歸納和總結，我們可以寫出如下的更高效演算法來
計算 f（n）：
#include
int sumls(int n)
ifactor*=10;
}return icount;
}int main()
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