—–下文摘自秦永元的《慣性導航》第二版
設有參考座標系r
，座標軸x0
、y 0
、z 0
，座標軸方向的單位向量為i0
、j0、
k0。剛體相對r
系做定點轉動，定點為o
。取座標系b
與剛體固聯，b
系的座標軸為x、
y、z ，座標軸方向的單位向量為i、
j、k
。假設初始時刻b
系與r
系重合。為了便於分析剛體的空間位置，剛體上取一點a
，轉動點o
至該點引位置向量oa
，如下圖所示：
設剛體以ω=
ωxi+
ωy j
+ωz
k 相對 r
系旋轉，初始時刻位置向量處於oa
=r經過時間 t 後位置向量處於oa
′=r′
。根據尤拉定理，僅考慮剛體在 0 時刻和 t 時刻的角位置時，剛體從a
位置轉到a′
位置的轉動可等效成繞軸u
（單位向量）轉過θ
角一次完成這樣，位置向量做圓錐運動，a
和a′位於同一圓上，r
和r′位於同一圓錐上。
下面分析r
和r′的關係。在圓上取一點b
使∠ao
′b=90
° ，有上圖可得： oo
′=(r
∙u)u
o′a=r−
oo′=
r−(r
∙u)u
o′b=u×
o′a=
u×r−
(r∙u
)u=u
×r
o′a′
=o′a
cosθ
+o′b
sinθ
=rco
sθ−(
r∙u)
ucos
θ+u×
rsin
θ 所以 r′
=oo′
+o′a
′=rc
osθ+
(1−c
osθ)
×(r∙
u)u+
u×rs
inθ
由向量三重積計算公式: u×
(u×r
)=u(
u∙r)
−(u∙
u)r=
(r∙u
)u−r
即 (r∙u)
u=r+
u×(u
×r)
所以 r′
=rco
sθ+(
1−co
sθ)[
r+u×
(u×r
)]+u
×rsi
nθ=r
+u×r
sinθ
+(1−
cosθ
)u×(
u×r)
將上式向r
系內投影： r′
r =r
r+(u
×r)r
sinθ
+(1−
cosθ
)[u×
(u×r
)]r記
又根據叉乘關係表示式
記
u×r)
r=ur
r [u
×(u×
r)]r
=u∙u
rr所以 r′
r =r
r+ur
rsin
θ+(1
−cos
θ)u∙
urr=
(i+2
usin
θ2co
sθ2+
2sin
2θ2u
∙u)r
r 令
d=i+
2usi
nθ2c
osθ2
+2si
n2θ2
u∙u
則有： r′
r =d
rr記初始時刻的剛體固聯座標係為b0
，由於初始時刻剛體固聯座標系與參考座標系重合所以rr
=rb0
而在轉動過程中，位置向量和 b
系都同剛體固聯，所以位置向量和b
系的相對角位置始終不變，即有: rr
=r′r
=dr′b
該式說明d
即為b 係至
r 系的座標變換矩陣。 c
rb=i
+2us
inθ2
cosθ
2+2s
in2θ
2u∙u
即
令
0q 1q 2
q 3 構造四元數： q=
q 0+
q 1i
0+q
2j0+
q 3k
0=co
sθ2+
(li0
+mj0
+nk0
)sin
θ2=c
osθ2
+urs
inθ2
則可得如下結論：
四元數q=c
osθ2
+urs
inθ2
描述了剛體的定點轉動，即當只關心b
系相對r
系的角位置時，可認為b
系是由r
系經過無中間的一次性等效旋轉形成的，q
包含了這種等效旋轉的全部資訊：ur
為旋轉瞬時軸和座標變換矩陣，θ
為轉過的角度。
四元數可以確定b
係至r系的座標變換矩陣。
1 ，所以可以進一步推得如下結論：
(1)描述剛體旋轉的四元數是規範化四元數。
(3)如果將向量rr
和rb看作零標量的四元數，則rr
和rb間的變換關係可採用四元數乘法表示：rr
=q⊗r
b⊗q∗
該式稱為座標變換的四元數表示法，其中q
為r 至b
系的旋轉四元數。座標變換的矩陣表示法為：rr
=c rbrb
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