四元數 \(h = a + bi + cj + dk\)
共軛: $ h^* = a -bi -cj -dk$
逆： $ h^ = \frac$
所以單位四元數的共軛等於他的逆
單位四元數（絕對值為1的四元數）若實部為cos(t),它的共軛作用是乙個角度為2t的轉動，轉軸為虛部的方向。
四元數的優點是：
只有單位四元數才能表示旋轉，所以在eigen中一般會有quaternion.normialzed()進行歸一化的處理
任給乙個單位四元數q，計算它的虛部，我們就馬上可以知道轉軸是什麼,計算乙個單位四元數的實部，它的反余弦值給出旋轉角的一半。在四元數表示下，計算轉軸和旋轉角變得異常簡單。
當我們使用旋轉軸加上旋轉角表示旋轉的時候，我們定義如下
\(v =u \theta\) , u是單位向量，\(\theta = ||v||\)
並且由泰勒展開，我們有， \(e^v = e^ = cos\theta + usin\theta\)
記住乙個繞軸ｕ旋轉\(\theta\)角度的旋轉，表示成四元數的時候是做兩次旋轉，對應的ｑ是\(cos(\frac ) + u sin(\frac )\) = \(
\begin
cos(\frac ) \\
u sin(\frac ) \\
\end\)
\[x^ = q \bigotimes x \bigotimes q^ = rx
\]對應的當我們旋轉很小的角度，\(\theta\) --> 0的時候，我們對上面的矩陣和ｅ函式求近似值，有
對時間求微分
\[\frac = lim \frac
\]代入就有
\]看上面的公式，角速度在不同的座標系表示下，乙個是乘在左邊的乙個是在右邊的，如果把右邊的乙個ｒ乘過去，
\[\dotr(t)^t = \phi(t)^\wedge
\]這個是不是很熟悉，就是李群和李代數之間的變換關係。
在下面的那篇**中可以證明，
說明李群中對應的skew-matrix不是隨便選取的(不是只要滿足反對成矩陣的性質)，是有一定的方法。\(\omega\)又叫做rotation vector. encodes the angle and axis of rotation
在一段時間內\([t_n,t_]\),\(\dot \omega =0\),
上面的左邊就是\(e^\)，根據上面說的這個指數對應的旋轉角是\(w_n \delta t\),所以有，
\[q(n+1) = q(n) \bigotimes q\
\]這樣我們就有了相鄰時刻的四元數關係，上面的所有公式都可以在下面的**找到。
quaternion kinematics for the error-state kalman filter
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