時間複雜度與空間複雜度完全解析

本文出自【何嘉龍的部落格】

國慶小長假到了，不知道大家的國慶長假過得怎麼樣？在空間裡面看到同學都外出浪了，我表示很嫉妒啊。哎，作為乙個死宅男，還是安安靜靜的在宿舍寫我的部落格還有刷劇吧。我是自動化專業，由於是非科班出生，又聽說大公司都比較重基礎，於是乎，我準備惡補下資料結構與演算法分析，我看的是《大話資料結構》，希望把自己的基礎功打牢一點，進自己想進的公司吧。我也希望大家國慶能過得愉快！

在進行演算法分析時，語句總的執行次數t（n）是關於問題規模n的函式，進而分析t（n）隨n的變化情況並確定t（n）的數量級。演算法的時間複雜度，也就是演算法的時間複雜量度，記住：t（n）=o（f(n)）。它表示隨問題規模n的增大，演算法執行時間的增長率和f（n）的增長率相同，稱作演算法的漸近時間複雜度，簡稱為時間複雜度。其中f（n）是問題規模n的某個函式。

這樣用大寫o（）來體現演算法時間複雜度的記法，我們稱之為大o記法。一般情況下，隨著n的增大，t(n)增長最慢的演算法為最優演算法。

顯然，由此演算法時間複雜度的定義可知，我們的三個求和演算法的時間複雜度分別為o(n)，o(1)，o(n²)。我們分別給它們取了非官方的名稱，o(1)叫常數階、o(n)叫做線性階，o(n²)叫平方階，當然，還有其他的一些階，我們之後會介紹。

那麼如何分析乙個演算法的時間複雜度呢？即如何推導大o階呢？我們給出了下面的推導方法，基本上，這也就是總結前面我們舉的例子。

推導大o階：

1.用常數1取代執行時間後的所有加法常數。

2.在修改後的執行次數函式中，只保留最高端項。

3.如果最高端存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。得到的結果就是大o階。

哈，彷彿是得到了遊戲攻略一樣，我們好像已經得到了乙個推導演算法時間複雜度的萬能公式。可事實上，分析乙個演算法的時間複雜度，沒有這麼簡單，我們還需要多看幾個例子。

首先順序結構的時間複雜度。下面這個演算法，也就是高斯演算法，為什麼時間複雜度不是o(3)，而是o(1)。

int
sum = 0, n = 100; //執行1次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行1次
printf("%d", sum); //執行1次

這個演算法的執行次數函式是f(n) = 3.根據我們推導的大o階的方法，第一步就是把常數項3改為1,。在保留最高端項時發現，它根本沒有最高端項，所以這個演算法的時間複雜度為o(1)。

另外，我們試想一下，如果這個演算法當中的語句sum = (1 + n) * n / 2有10句，即：

int
sum = 0, n = 100; //執行1次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行第1次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行第2次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行第3次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行第4次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行第5次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行第6次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行第7次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行第8次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行第9次
sum = (1 + n) * n / 2; //執行第10次
printf("%d", sum); //執行1次

事實上無論n為多少，上面的兩段**就是3次和12次執行的差異。這種與問題的大小無關(n的多少)，執行時間恆定的演算法，我們稱之為具有o(1)的時間複雜度，又叫常數階。

注意：不管這個常數是多少，我們都記作o(1)，而不能是o(3)、o(12)等其他任何數字，這是初學者常犯的錯誤。

對於分支結構而言，無論是真，還是假，執行的次數都是恆定的，不會隨著n的變大而發生變化，所以單純的分支結構(不包含在迴圈結構裡)，其時間複雜度也是o(1)。

線性階的迴圈結構會複雜很多。要確定某個演算法的階次，我們常常需要確定某個特定語句或某個語句集執行的次數。因此，我們要分析演算法的複雜度，關鍵就是要分析迴圈結構的運**況。

下面這段**，它的迴圈的時間複雜度為o(n)，因為迴圈體中的**必須要執行n次。

for(int i = 0; i
< n; i++)

下面這段**，時間複雜度又是多少呢？

int
count = 1;
while(count
< n)

由於每次count乘以2之後，就距離n更近了一分。也就是說，有多少個2相乘後大於n，則會退出迴圈。由2的x次方=n，得到x=log₂n。所以這個迴圈的時間複雜度為o(logn)。

下面例子是乙個迴圈巢狀，它的內迴圈剛才我們分析過了，時間複雜度為o(n)。

for(int i = 0; i < n; i++) 
}

而對於外層的迴圈，不過是內部這個時間複雜度為o(n)的語句，再迴圈n次。所以這段**的時間複雜度為o(n²)。

如果外迴圈的迴圈次數改為了m，時間複雜度就為o(m × n)。

for(int i = 0; i < m; i++) 
}

所以，我們可以總結出，迴圈的時間複雜度等於迴圈體的複雜度乘以該迴圈執行的次數。

那麼下面這個迴圈巢狀，他的時間複雜度又是多少呢？

for(int i = 0; i < n; i++) 
}

當i = 0時，內迴圈執行了n次，當i = 1時，執行了n - 1次，依次類推，當i = n - 1時，執行了一次。所以總的執行次數為：

用我們推導大o階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮；第二條，只保留最高端項，因此保留n²/2；第三條，去除這個項相乘的常數，也就是去除1/2，最終**的時間複雜度為o(n²)。

常見的時間複雜度如表所示：

所耗費的時間從小到大依次為：

我們在寫**的時候，完全可以用空間來換取時間，比如說，要判斷某某年是不是閏年，你可能會花一點心思寫了乙個演算法，而且由於是乙個演算法，也就意味著，每次給乙個年份，都是要通過計算得到是否是閏年的結果，還有另外乙個辦法就是，事先建立乙個有2050個元素的陣列(年數略比現實多一點)，然後把所有的年份按下標的數字對應，如果是閏年，此陣列項就是1，否則為0。這樣，所謂的判斷一年是否為閏年，就變成了查詢陣列的某一項值是多少的問題。此時，我們的運算已經是最小化了，但是硬碟上或者記憶體中需要儲存這2050個0和1。

這是一筆空間上的開銷來換取計算時間的小技巧。到底哪乙個好，要看你用在什麼地方。

演算法的空間複雜度通過計算演算法所需的儲存控制項實現，演算法空間複雜度的計算公式為：s(n) = o(f(n))，其中，n為問題的規模，f(n)為語句關於n所佔儲存空間的函式。

一般情況下，乙個程式在機器上執行時，除了需要儲存程式本身的指令、常數、變數和輸入資料外，還需要儲存對資料操作的儲存單元。當不限定詞的使用「複雜度」的時候，通常指時間複雜度。

時間複雜度與空間複雜度完全解析

時間複雜度與空間複雜度

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