尼姆博弈：
有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況與二進位制有著很大的關係，
我們用(a,b,c)來表示某種局勢，
那麼(0,0,0)
必然為奇異局勢，
(0,n,n)
也是種奇異局勢
。因為如果對手在其中一堆取m個石子(m<=n)，那麼你也可以在另外一堆中取m個，他取幾個你就取幾個，到最後有一堆變為0的時候，你再取完另一堆勝利（滿滿的套路=。=）。
直接說結論吧：
對於任意的奇異局勢
(a,b,c)
，都有a^b^c=0。(^
為異或運算)。
對於任意的非奇異局勢(a,b,c)，假設a
原理：因為a^a=0，
所以a^b^c=a^b^(a^b)=0，
所以只需將c-(a^b)即可。
來來來，這裡有個栗子，還熱乎乎的呢=w=：
有個非奇異局勢(14,21,39)，
因為14^21=27，39-27=12，所以從39中拿走12個物體即可達到奇異局勢（14，21，27）。
這裡還有個栗子，買一贈一哦=w=
：我們來實際進行一盤比賽看看：
甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇異局勢
乙:(1,8,9)->(1,8,4)
甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇異局勢
乙:(1,5,4)->(1,4,4)
甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇異局勢
乙:(0,4,4)->(0,4,2)
甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇異局勢
乙:(0,2,2)->(0,2,1)
甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇異局勢
乙:(0,1,1)->(0,1,0)
甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇異局勢
甲勝。
於是，我們又發現了一些神奇而顯然的性質=w=：
性質1：對於某個局面(a1,a2,...,an)，
若a1^a2^...^an!=0，
一定存在某個合法的移動，將ai改變成ai'後滿足a1^a2^...^ai'^...^an=0。
分析：令res=a1^a2^......an,設res的最高位為pos(那pos的數肯定為1啦)，
那麼一定存在某個ai，它的二進位制在pos位上也是1，(否則k的最高位那個1是怎麼得到的)。
異或res
後這位變為0，
這時ai^res
一定成立。
則我們可以將ai改變成ai'=ai^res，此時a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^res=0。
注意：雖然它一定存在合法的移動（一定有a[i]使ai^res
一定成立）使之變成奇異局勢，
但並不是每一堆都可以進行操作的，只有當a[i]>a[i]^res 的時候才可以對這一堆進行操作
拓展：任給n
堆石子,
兩人輪流從任一堆中任取
(每次只能取自一堆
),取最後一顆石子的人獲勝，問先取的人如何獲勝？
根據上面所述，
n個數異或即可。
如果開始的時候t＝
0，那麼先取者必敗，
如果開始的時候
t>0
，那麼只要每次取出石子使得t＝
0，即先取者有獲勝的方法。
性質2：對於某個局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某個合法的移動，將ai改變成ai'後仍滿足a1^a2^...^ai'^...^an=0。
獲勝情況對先取者進行討論：
異或結果為
0，先取者必敗，無獲勝方法。後取者獲勝；
結果不為
0，先取者有獲勝的取法。
hdu1850
判斷先手能否贏，可以贏的話輸出第一步的方案數
var
n,t :longint;
i :longint;
a :array[0..110] of longint;
function work(t:longint):longint;
var j:longint;
ans:longint;
begin
ans:=0;
for j:=1 to n do
if (a[j]>a[j] xor t) then inc(ans);//判斷能否對當前堆進行操作
exit(ans);
end;
begin
read(n);
while (n<>0) do
begin
t:=0;
for i:=1 to n do
begin
read(a[i]);
t:=t xor a[i];
end;
if t=0 then writeln(0) else writeln(work(t));
read(n);
end;
end.
n堆石子
,兩人輪流從任一堆中任取
(每次只能取自一堆
),規定每方每次最多取k顆
,取最後一顆石子的一方獲勝
.問先取的人如何獲勝？
與上面的問題比，這個更複雜一些，我們可以這樣做：
令bi=ai mod(k+1)定義t
『＝b1 xor b2 xor ... xor bn如果t
『＝0
那麼沒有獲勝可能，先取者必敗如果
t』>0
那麼必然存在取的方法，使得t『＝
0，先取者有獲勝的方法
假設對方取了在
ai中取了
r（r<=k）個如果
ai中剩下的石子多於
k 那麼就在
ai中取走
k+1-r
個，則bi
不變，t『不變
如果ai<=k
那麼我們需要重新計算bi和
t『按照上面的方法來做就可以了
尼姆博弈 hdu 1850
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